Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Fonctions numériques d’une variable réelle · Leçon 1

Fonctions numériques : quelques généralités

Domaine, image, antécédent, parité et variations.

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Cours de Mathématiques : « Fonctions numériques : quelques généralités », proposé par ndolomathndolomath

Généralités sur les fonctions

💡 Idée principale : Une fonction numérique

f

associe à chaque réel

x

de son ensemble de définition

D_{f}

un unique réel

f (x)

. On étudie son domaine, ses images et antécédents, sa parité et son sens de variation.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction.
Calculer des images et chercher des antécédents.
Étudier la parité d’une fonction.
Définir et étudier le sens de variation sur un intervalle.

Pourquoi cette leçon ?

Toute relation entre deux grandeurs — coût et quantité, distance et temps, aire et longueur — se décrit par une fonction. Bien connaître ses propriétés permet de prévoir et d’optimiser.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

x^{2} - 4 = 0

2 x - 3 \geq 0

Calcule

f (- 2)

pour

f (x) = x^{2} - 3 x

Écris

D = R ∖ {1}

sous forme d’intervalles.

Situation problème : La boîte sans couvercle

On découpe un carré de côté $x$ cm à chaque coin d’une plaque carrée de 20 cm de côté, puis on replie pour obtenir une boîte sans couvercle. Son volume est $V (x) = x (20 - 2 x)^{2}$ .
Pour quelles valeurs de $x$ cette formule a-t-elle un sens ? Calcule le volume pour $x = 2$ et $x = 5$ .

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Activité d’apprentissage

On étudie la fonction $V$ .

Quelles contraintes doit vérifier $x$ ? Déduis-en l’ensemble de définition de $V$ dans la situation.
Calcule $V (2)$ , $V (3)$ , $V (4)$ , $V (5)$ .
Le volume augmente-t-il toujours quand $x$ augmente ?
Réponds à la situation problème.

Ensemble de définition

D_{f}

est l’ensemble des réels

x

pour lesquels

f (x)

existe. On exclut les valeurs qui annulent un dénominateur et celles qui rendent négatif un radicande.

Exemple à traiter : Détermine

D_{f}

pour

f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}

g (x) = \sqrt{4 - 2 x}

h (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}

R2 · Parité

D_{f}

étant symétrique par rapport à 0 :
•

f

est paire si

f (- x) = f (x)

: sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
•

f

est impaire si

f (- x) = - f (x)

: sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Exemple à traiter : Étudie la parité de

f (x) = x^{4} - 3 x^{2}

g (x) = x^{3} + \frac{1}{x}

h (x) = x^{2} + x

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Sens de variation

f

est croissante sur

I

si pour

a < b

dans

I

f (a) \leq f (b)

; décroissante si

f (a) \geq f (b)

. On peut étudier le signe de

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Exemple à traiter : Démontre que

f (x) = \frac{1}{x}

est décroissante sur

] 0; + \infty [

Erreurs fréquentes

⚠ Domaine non symétrique

On ne parle de parité que si

D_{f}

est symétrique par rapport à 0.

⚠ Paire ou impaire

Une fonction peut n’être ni paire ni impaire.

Exercice d’application

Détermine l’ensemble de définition et étudie la parité de $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ .
Démontre que $g (x) = x^{2}$ est croissante sur $[0; + \infty [$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

D_{f}

: dénominateurs non nuls, radicandes positifs. Paire :

f (- x) = f (x)

; impaire :

f (- x) = - f (x)

. Variations : comparer

f (a)

f (b)