Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Equations et inéquations · Leçon 4

Systèmes d’équations et d’inéquations dans ℝ²

Résoudre par le calcul et représenter graphiquement.

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Cours de Mathématiques : « Systèmes d’équations et d’inéquations dans ℝ² », proposé par ndolomathndolomath

Systèmes dans ℝ²

💡 Idée principale : Un système de deux équations linéaires dans

R^{2}

se résout par substitution, combinaison ou déterminants ; graphiquement, c’est l’intersection de deux droites. Un système d’inéquations a pour solutions une région du plan, intersection de demi-plans.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre un système de deux équations par substitution, combinaison ou Cramer.
Interpréter géométriquement le nombre de solutions.
Résoudre graphiquement un système d’inéquations linéaires.
Résoudre un problème d’optimisation simple.

Pourquoi cette leçon ?

Planifier une production sous contraintes de temps et de matières premières, retrouver des prix à partir de factures : les systèmes sont l’outil naturel.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

{\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

Trace la droite

2 x + y = 4

Le point

(1; 1)

vérifie-t-il

2 x + y < 4

Situation problème : La menuiserie

Une menuiserie fabrique des tables ( $x$ ) et des chaises ( $y$ ). Une table demande 3 h de travail et 2 planches, une chaise 1 h et 1 planche. On dispose de 36 h et de 28 planches. Une table rapporte 9 000 F, une chaise 4 000 F.
Quelles productions sont possibles ? Laquelle rapporte le plus ?

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Activité d’apprentissage

On traduit les contraintes de la menuiserie.

Écris le système d’inéquations traduisant les contraintes.
Représente la région des solutions.
Calcule les coordonnées des sommets de cette région.
Calcule le bénéfice en chaque sommet et réponds à la situation.

Système linéaire

{\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases}

;

D = a b^{'} - a^{'} b

.
•

D \neq 0

: solution unique

x = \frac{c b^{'} - c^{'} b}{D}

y = \frac{a c^{'} - a^{'} c}{D}

(droites sécantes).
•

D = 0

: aucune solution (parallèles) ou une infinité (confondues).

Exemple à traiter : Résous :

{\begin{cases} 3 x - 2 y = 7 \\ 5 x + 4 y = 8 \end{cases}

puis discute selon

m

{\begin{cases} m x + y = 1 \\ x + m y = 1 \end{cases}

R2 · Systèmes d’inéquations

Chaque inéquation

a x + b y + c \geq 0

définit un demi-plan (frontière la droite

a x + b y + c = 0

). La solution d’un système est l’intersection de ces demi-plans.

Exemple à traiter : Représente l’ensemble des solutions de

{\begin{cases} x - y \leq 1 \\ x + 2 y \leq 4 \\ x \geq 0 \end{cases}

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Optimisation

Pour maximiser une quantité de la forme

p x + q y

sur une région polygonale, on calcule sa valeur aux sommets de la région : le maximum est atteint en un sommet.

Exemple à traiter : Maximise

2 x + 3 y

sous les contraintes

x \geq 0

y \geq 0

x + y \leq 5

x + 3 y \leq 9

Erreurs fréquentes

⚠ Déterminant nul mal interprété

D = 0

ne signifie pas « pas de solution » : il peut y en avoir une infinité.

⚠ Contraintes oubliées

Des quantités imposent

x \geq 0

y \geq 0

Exercice d’application

Résous par Cramer : ${\begin{cases} 2 x + 5 y = 1 \\ 3 x - 2 y = 11 \end{cases}$
Résous graphiquement ${\begin{cases} 2 x + y \leq 8 \\ x + y \geq 2 \\ y \geq 0 \end{cases}$
Réponds à la situation problème.

À retenir

D = a b^{'} - a^{'} b

D \neq 0

, une solution ; sinon aucune ou une infinité. Inéquations : intersection de demi-plans ; optimum à un sommet.