Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Equations et inéquations · Leçon 3

Équations et inéquations rationnelles dans ℝ

Des fractions de polynômes à résoudre avec rigueur.

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Cours de Mathématiques : « Équations et inéquations rationnelles dans ℝ », proposé par ndolomathndolomath

Équations rationnelles

💡 Idée principale : Une équation ou inéquation rationnelle contient l’inconnue au dénominateur. On commence par écrire les conditions d’existence, puis on se ramène à une seule fraction comparée à 0, et on utilise un tableau de signes.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer le domaine de validité d’une équation rationnelle.
Résoudre une équation rationnelle.
Résoudre une inéquation rationnelle par un tableau de signes.

Pourquoi cette leçon ?

Le temps de travail partagé entre plusieurs ouvriers, une vitesse moyenne aller-retour ou un coût moyen mènent à des équations où l’inconnue est au dénominateur.

Prérequis : vérifie tes bases

Réduis au même dénominateur

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}

Dresse le tableau de signes de

\frac{x - 1}{x + 3}

Résous

x^{2} - 3 x + 2 = 0

Situation problème : Les deux maçons

Un maçon seul construit un mur en $x$ jours ; un second maçon, plus lent, met 2 jours de plus. Ensemble, ils construisent le mur en $\frac{12}{5}$ jours.
Combien de jours met chaque maçon seul ?

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Activité d’apprentissage

On traduit les vitesses de travail.

Quelle fraction du mur chaque maçon fait-il en un jour ?
Écris l’équation traduisant le travail commun.
Donne les conditions d’existence, réduis au même dénominateur et résous.
Réponds à la situation problème.

Domaine

On écrit d’abord les conditions d’existence : chaque dénominateur doit être non nul. Le domaine est

R

privé des valeurs interdites.

Exemple à traiter : Donne le domaine de validité de

\frac{2}{x - 1} = \frac{x}{x^{2} - 1}

R2 · Équations rationnelles

1. Conditions d’existence. 2. Tout passer dans un membre et réduire au même dénominateur :

\frac{A (x)}{B (x)} = 0

. 3. Résoudre

A (x) = 0

. 4. Éliminer les valeurs interdites.

Exemple à traiter : Résous :

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{5}{12}

Inéquations rationnelles

On se ramène à

\frac{A (x)}{B (x)} \geq 0

(ou

>, \leq, <

), puis on étudie le signe dans un tableau. On ne multiplie jamais par une expression de signe inconnu.

Exemple à traiter : Résous :

\frac{x + 1}{x - 2} \geq 2

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Erreurs fréquentes

⚠ Produit en croix hâtif

On ne fait pas « produit en croix » dans une inéquation sans connaître le signe des dénominateurs.

⚠ Solution interdite

On vérifie que les solutions trouvées ne sont pas des valeurs interdites.

Exercice d’application

Résous : $\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 3} = \frac{18}{x^{2} - 9}$ .
Résous : $\frac{x^{2} - 4}{x + 1} \leq 0$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Conditions d’existence d’abord. On se ramène à

\frac{A}{B}

comparé à 0, on résout

A = 0

ou on fait un tableau de signes.