Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Equations et inéquations · Leçon 2

Équations et inéquations du second degré dans ℝ

Forme canonique, discriminant, racines et signe.

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Cours de Mathématiques : « Équations et inéquations du second degré dans ℝ », proposé par ndolomathndolomath

Second degré

💡 Idée principale : Tout trinôme

a x^{2} + b x + c

(

a \neq 0

) peut s’écrire sous forme canonique. Le discriminant

Δ = b^{2} - 4 a c

indique le nombre de racines. Le trinôme est du signe de

a

sauf entre ses racines.

Ce que tu vas apprendre

Écrire un trinôme sous forme canonique.
Calculer le discriminant et résoudre $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Factoriser un trinôme et étudier son signe.
Résoudre une inéquation du second degré.

Pourquoi cette leçon ?

Trouver les dimensions d’un terrain d’aire donnée, le prix qui maximise une recette ou le moment où un ballon retombe au sol mène à des équations du second degré.

Prérequis : vérifie tes bases

Développe

(x - 3)^{2}

(x + 2) (x - 5)

Factorise

x^{2} - 9

Résous

(x - 1) (x + 4) = 0

Situation problème : Le terrain rectangulaire

Un terrain rectangulaire a une longueur qui dépasse sa largeur de 7 m et une aire de 120 m².
Quelles sont ses dimensions ?

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Activité d’apprentissage

On note $x$ la largeur du terrain.

Montre que $x$ vérifie $x^{2} + 7 x - 120 = 0$ .
Écris $x^{2} + 7 x$ sous la forme $(x + α)^{2} - β$ .
Déduis-en une forme factorisée de $x^{2} + 7 x - 120$ et résous l’équation.
Réponds à la situation problème.

Forme canonique et discriminant

a x^{2} + b x + c = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}] avec Δ = b^{2} - 4 a c

Exemple à traiter : Écris sous forme canonique

2 x^{2} - 8 x + 5

R2 · Racines

•

Δ > 0

: deux racines

x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

;

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

.
•

Δ = 0

: une racine double

- \frac{b}{2 a}

.
•

Δ < 0

: aucune racine réelle.

Exemple à traiter : Résous :

x^{2} - 5 x + 6 = 0

;

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

;

x^{2} + x + 1 = 0

Signe du trinôme

Le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines (quand elles existent). Si

Δ < 0

, il est toujours du signe de

a

Exemple à traiter : Résous :

- x^{2} + 3 x + 4 > 0

2 x^{2} + x + 3 \leq 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Signe de

Δ

Δ

négatif signifie pas de racine, pas un calcul faux.

⚠ Diviser par x

On factorise au lieu de diviser par une expression qui peut être nulle.

Exercice d’application

Résous : $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ et factorise le trinôme.
Résous : $x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Δ = b^{2} - 4 a c

: deux, une ou aucune racine. Le trinôme a le signe de

a

sauf entre ses racines.