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MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Droites, cercles dans le plan · Leçon 2

Cercles du plan

Équation cartésienne et intersection avec une droite.

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Cours de Mathématiques : « Cercles du plan », proposé par ndolomathndolomath

Cercles du plan

💡 Idée principale : Dans un repère orthonormé, le cercle de centre

Ω (a; b)

et de rayon

r

a pour équation

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

. Une équation

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

représente un cercle, un point ou l’ensemble vide selon le signe de

a^{2} + b^{2} - c

Ce que tu vas apprendre

Écrire l’équation d’un cercle de centre et rayon donnés, ou de diamètre donné.
Reconnaître l’ensemble défini par $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ .
Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ .
Étudier l’intersection d’un cercle et d’une droite.

Pourquoi cette leçon ?

La zone couverte par une antenne, l’arrosage d’un jardin ou la portée d’un phare sont des disques. L’équation du cercle permet de savoir par le calcul si un point est couvert.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la distance entre

A (1; 2)

B (4; 6)

Écris

x^{2} - 6 x

sous la forme

(x - 3)^{2} - \dots

Résous

x^{2} - 5 x + 4 = 0

Situation problème : L’antenne relais

Une antenne placée en $Ω (3; - 1)$ (en km) couvre un disque de rayon 5 km. Une route a pour équation $x - y - 9 = 0$ . Le village $V (6; 3)$ est-il couvert ?
Sur quelle portion de la route le réseau capte-t-il ?

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Activité d’apprentissage

On note $(C)$ le cercle de centre $Ω (3; - 1)$ et de rayon 5.

Traduis $Ω M = 5$ par une équation en $x$ et $y$ .
Calcule $Ω V$ et conclus pour le village.
Résous le système formé par l’équation du cercle et celle de la route.
Réponds à la situation problème.

Équation d’un cercle

Le cercle de centre

Ω (a; b)

et de rayon

r

a pour équation

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

. Le cercle de diamètre

[A B]

est l’ensemble des points

M

tels que

\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0

Exemple à traiter : Écris l’équation du cercle de centre

(- 2; 1)

et de rayon 3, puis celle du cercle de diamètre

[A B]

avec

A (1; 0)

B (3; 4)

R2 · Équation développée

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0 ⟺ (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - c

. C’est un cercle de centre

(a; b)

a^{2} + b^{2} - c > 0

, un point si

= 0

, l’ensemble vide si

< 0

Exemple à traiter : Détermine la nature de l’ensemble d’équation

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0

, puis de

x^{2} + y^{2} + 2 x + 5 = 0

Cercle et droite

On calcule la distance

d

du centre à la droite :

d = \frac{| a x_{Ω} + b y_{Ω} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

. Si

d < r

: deux points communs ;

d = r

: tangente ;

d > r

: aucun. Les points s’obtiennent en résolvant le système.

Exemple à traiter : Étudie l’intersection du cercle

x^{2} + y^{2} = 25

et de la droite

x + y - 1 = 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Signe dans l’équation

Le centre de

(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9

est

(- 2; 1)

⚠ Rayon au carré

Dans l’équation, le second membre est

r^{2}

, pas

r

Exercice d’application

Détermine l’équation de la tangente au cercle $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ au point $O (0; 0)$ .
Détermine l’ensemble des points $M$ tels que $M A^{2} + M B^{2} = 26$ avec $A (- 1; 0)$ et $B (1; 0)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Cercle :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

. Forme développée : compléter les carrés. Distance centre-droite comparée au rayon.