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MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Droites, cercles dans le plan · Leçon 1

Droites du plan

Représentation paramétrique et équation cartésienne.

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Cours de Mathématiques : « Droites du plan », proposé par ndolomathndolomath

Droites du plan

💡 Idée principale : Une droite peut être décrite par un point et un vecteur directeur. On en déduit une représentation paramétrique

{\begin{cases} x = x_{A} + t α \\ y = y_{A} + t β \end{cases}

et une équation cartésienne

a x + b y + c = 0

. On passe de l’une à l’autre et on étudie les positions relatives.

Ce que tu vas apprendre

Écrire une représentation paramétrique d’une droite.
Passer d’une représentation paramétrique à une équation cartésienne et inversement.
Étudier la position relative de deux droites.
Utiliser un vecteur normal (repère orthonormé).

Pourquoi cette leçon ?

La trajectoire rectiligne d’un mobile se décrit naturellement par une représentation paramétrique : la position dépend du temps

t

. L’équation cartésienne, elle, dit simplement si un point est sur la droite.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne un vecteur directeur de la droite

(A B)

avec

A (1; 2)

B (4; - 1)

Écris la condition de colinéarité de deux vecteurs.

Résous

{\begin{cases} 2 x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases}

Situation problème : Les deux bateaux

Sur une carte, un bateau part de $A (2; 1)$ avec une vitesse $\vec{v} (1; 2)$ (en km par heure) ; un autre part de $B (8; 1)$ avec la vitesse $\vec{w} (- 1; 1)$ . Leurs trajectoires sont rectilignes.
Les trajectoires se coupent-elles ? Les bateaux risquent-ils de se rencontrer au même instant ?

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Activité d’apprentissage

On décrit la position de chaque bateau en fonction du temps $t$ .

Écris les coordonnées du premier bateau à l’instant $t$ .
Fais de même pour le second bateau.
Détermine le point d’intersection des deux trajectoires.
Les bateaux y passent-ils au même instant ? Réponds à la situation.

Représentation paramétrique

La droite passant par

A (x_{A}; y_{A})

et de vecteur directeur

\vec{u} (α; β)

admet la représentation paramétrique :

{\begin{cases} x = x_{A} + t α \\ y = y_{A} + t β \end{cases} t \in R

Exemple à traiter : Écris une représentation paramétrique de la droite passant par

C (- 1; 3)

D (2; 5)

R2 · Équation cartésienne

Toute droite a une équation

a x + b y + c = 0

;

\vec{u} (- b; a)

est un vecteur directeur. Dans un repère orthonormé,

\vec{n} (a; b)

est un vecteur normal. On passe du paramétrique au cartésien en éliminant

t

Exemple à traiter : Donne une équation cartésienne de la droite

{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 3 + t \end{cases}

, puis une représentation paramétrique de

3 x - y + 2 = 0

Positions relatives

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ; sinon elles sont sécantes et leur point commun s’obtient en résolvant un système.

Exemple à traiter : Étudie la position des droites

x - 2 y + 1 = 0

{\begin{cases} x = 3 + 4 t \\ y = 1 + 2 t \end{cases}

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Erreurs fréquentes

⚠ Paramètres identiques

Pour deux droites différentes, on utilise deux paramètres différents (

t

s

⚠ Vecteur normal et directeur

(a; b)

est normal à

a x + b y + c = 0

(- b; a)

est directeur.

Exercice d’application

Détermine une équation cartésienne de la perpendiculaire à $2 x + 3 y - 1 = 0$ passant par $E (1; 1)$ .
Étudie l’intersection des droites ${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \end{cases}$ et ${\begin{cases} x = 3 s \\ y = - 1 + 2 s \end{cases}$
Réponds à la situation problème.

À retenir

Représentation paramétrique : point + vecteur directeur. Équation cartésienne

a x + b y + c = 0

, vecteur directeur

(- b; a)

, normal

(a; b)