Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Angles orientes et trigonométrie · Leçon 3

Cosinus, sinus et tangente d’un réel

Les coordonnées du point image sur le cercle.

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Cours de Mathématiques : « Cosinus, sinus et tangente d’un réel », proposé par ndolomathndolomath

Cosinus, sinus, tangente

💡 Idée principale : Si

M

est l’image du réel

x

sur le cercle trigonométrique, alors

\cos x

est l’abscisse de

M

\sin x

son ordonnée. On en déduit

\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1

, les valeurs remarquables et les relations entre angles associés.

Ce que tu vas apprendre

Définir $\cos x$ , $\sin x$ et $\tan x$ pour tout réel.
Connaître les valeurs remarquables.
Utiliser les formules des angles associés.
Résoudre des équations simples $\cos x = \cos a$ , $\sin x = \sin a$ .

Pourquoi cette leçon ?

Les ondes, les marées, le courant alternatif ou la position d’une nacelle de grande roue varient de façon périodique : on les décrit avec le cosinus et le sinus.

Prérequis : vérifie tes bases

Place l’image de

\frac{π}{6}

sur le cercle trigonométrique.

Rappelle

\cos 60 °

\sin 30 °

Résous

x^{2} = \frac{3}{4}

Situation problème : La hauteur de la nacelle

Une grande roue de 20 m de rayon a son centre à 22 m du sol. Une nacelle part du point le plus à droite de la roue et tourne d’un angle $x$ (en radians) dans le sens direct. Sa hauteur au-dessus du sol est $h (x) = 22 + 20 \sin x$ .
Quelle est sa hauteur pour $x = \frac{π}{6}$ , $\frac{π}{2}$ , $\frac{7 π}{6}$ ? Quand est-elle à 32 m ?

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Activité d’apprentissage

On repère la nacelle par le point $M$ image de $x$ sur le cercle trigonométrique.

Quelles sont les coordonnées de $M$ pour $x = \frac{π}{2}$ ? pour $x = π$ ?
Pour $x = \frac{π}{6}$ , utilise un triangle rectangle pour trouver les coordonnées de $M$ .
Calcule $h (\frac{π}{6})$ et $h (\frac{7 π}{6})$ .
Résous $\sin x = \frac{1}{2}$ sur $[0; 2 π [$ et réponds à la situation.

Définitions

M

est l’image de

x

M (\cos x; \sin x)

. Pour tout réel

x

- 1 \leq \cos x \leq 1

- 1 \leq \sin x \leq 1

\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1

. Si

\cos x \neq 0

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

Exemple à traiter : Sachant

\cos x = - \frac{3}{5}

x \in] \frac{π}{2}; π [

, calcule

\sin x

\tan x

R2 · Valeurs remarquables et angles associés

\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

;

\cos \frac{π}{4} = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

;

\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos (- x) = \cos x

;

\sin (- x) = - \sin x

;

\cos (π - x) = - \cos x

;

\sin (π - x) = \sin x

;

\cos (π + x) = - \cos x

;

\sin (π + x) = - \sin x

Exemple à traiter : Calcule

\cos \frac{5 π}{6}

\sin \frac{7 π}{6}

\tan \frac{3 π}{4}

\cos \frac{2 π}{3}

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Équations

\cos x = \cos a ⟺ x = a + 2 k π

x = - a + 2 k π

\sin x = \sin a ⟺ x = a + 2 k π

x = π - a + 2 k π

(

k \in Z

Exemple à traiter : Résous dans

R

\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}

; puis dans

] - π; π]

\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}

Erreurs fréquentes

⚠ Signe du sinus

Le sinus est positif dans la moitié supérieure du cercle, négatif dans la moitié inférieure.

⚠ Solutions oubliées

\cos x = \cos a

a deux familles de solutions.

Exercice d’application

Simplifie $A = \cos (π - x) + \cos (- x) + \sin (π + x) + \sin (- x)$ .
Résous dans $[0; 2 π [$ : $2 \cos x + 1 = 0$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

M (\cos x; \sin x)

\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1

. Connaître les valeurs pour

\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}

et les formules des angles associés.