Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Angles orientes et trigonométrie · Leçon 2

Image d’un réel sur le cercle trigonométrique

Enrouler la droite réelle autour du cercle.

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Cours de Mathématiques : « Image d’un réel sur le cercle trigonométrique », proposé par ndolomathndolomath

Cercle trigonométrique

💡 Idée principale : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre

O

et de rayon 1, orienté dans le sens direct. À tout réel

x

, on associe un point

M

du cercle tel que l’arc orienté de

I

M

mesure

x

. Deux réels qui diffèrent de

2 k π

ont la même image.

Ce que tu vas apprendre

Définir le cercle trigonométrique.
Placer l’image d’un réel sur le cercle.
Reconnaître deux réels de même image.
Placer les images des réels remarquables.

Pourquoi cette leçon ?

Un satellite qui tourne autour de la Terre, la grande aiguille d’une horloge, le mouvement d’une roue : on repère la position d’un point qui tourne sur un cercle par un nombre réel.

Prérequis : vérifie tes bases

Convertis 60° et 135° en radians.

Donne la mesure principale de

\frac{9 π}{4}

Trace un repère orthonormé et un cercle de rayon 1 centré à l’origine.

Situation problème : La grande roue

Dans une fête foraine à Douala, une nacelle d’une grande roue part du point le plus à droite de la roue et tourne dans le sens direct. Après avoir parcouru un arc de $\frac{11 π}{6}$ rayons, une autre nacelle se trouve au même endroit qu’une troisième qui a parcouru $- \frac{π}{6}$ .
Est-ce possible ? Explique.

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Activité d’apprentissage

On trace le cercle trigonométrique de centre $O$ , avec $I (1; 0)$ et $J (0; 1)$ .

Place les images de $0$ , $\frac{π}{2}$ , $π$ , $- \frac{π}{2}$ .
Place les images de $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{π}{3}$ .
Place l’image de $\frac{11 π}{6}$ et celle de $- \frac{π}{6}$ . Que remarques-tu ?
Réponds à la situation problème.

Cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé direct

(O; I; J)

, le cercle trigonométrique est le cercle de centre

O

et de rayon 1, orienté dans le sens direct (contraire des aiguilles d’une montre).

Exemple à traiter : Où se trouve l’image de

π

? de

\frac{3 π}{2}

R2 · Image d’un réel

À tout réel

x

, on associe le point

M

du cercle tel que

(\vec{O I}, \vec{O M}) = x

. Deux réels

x

y

ont la même image si et seulement si

x - y = 2 k π

avec

k \in Z

Exemple à traiter : Les réels

\frac{7 π}{4}

- \frac{π}{4}

ont-ils la même image ? Et

\frac{5 π}{3}

\frac{2 π}{3}

Points symétriques

Les images de

x

- x

sont symétriques par rapport à

(O I)

; celles de

x

π - x

par rapport à

(O J)

; celles de

x

π + x

par rapport à

O

Exemple à traiter : Place les images de

\frac{π}{3}

- \frac{π}{3}

\frac{2 π}{3}

\frac{4 π}{3}

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Erreurs fréquentes

⚠ Sens inverse

Le sens positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre.

⚠ Une seule mesure

Un point du cercle est l’image d’une infinité de réels.

Exercice d’application

Place sur le cercle trigonométrique les images de $\frac{5 π}{6}$ , $- \frac{3 π}{4}$ , $\frac{13 π}{3}$ .
Place les images des réels $\frac{k π}{2}$ , $k \in Z$ . Combien de points distincts obtiens-tu ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Cercle trigonométrique : centre

O

, rayon 1, sens direct.

x

x + 2 k π

ont la même image.