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MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Angles orientes et trigonométrie · Leçon 1

Orientation du plan et angles orientés

Le sens trigonométrique et la mesure des angles orientés.

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Cours de Mathématiques : « Orientation du plan et angles orientés », proposé par ndolomathndolomath

Angles orientés

💡 Idée principale : Orienter le plan, c’est choisir un sens positif de rotation : le sens contraire des aiguilles d’une montre (sens trigonométrique). Un angle orienté de vecteurs a une infinité de mesures en radians, qui diffèrent d’un multiple de

2 π

Ce que tu vas apprendre

Convertir des degrés en radians et inversement.
Définir un angle orienté de deux vecteurs.
Trouver la mesure principale d’un angle orienté.
Utiliser la relation de Chasles pour les angles orientés.

Pourquoi cette leçon ?

La rotation d’une roue, le mouvement des aiguilles d’une horloge ou la direction d’un navire demandent de préciser non seulement l’ouverture d’un angle, mais aussi son sens.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le périmètre d’un cercle de rayon 1.

Convertis 3 h en minutes et 90° en fraction de tour.

Construis un angle de 120° au rapporteur.

Situation problème : La roue du moulin

La roue d’un moulin à manioc tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Un point de la roue part de la position $A$ , fait 2 tours complets puis encore un quart de tour.
De quel angle, en radians, a-t-il tourné ? Quelle position occupe-t-il finalement ?

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Activité d’apprentissage

On considère un cercle de rayon 1 et un point qui le parcourt.

Quelle longueur parcourt-on sur le cercle pour un tour ? un demi-tour ? un quart de tour ?
Le radian est l’angle qui intercepte un arc de longueur 1. Combien de radians mesure un tour ?
Exprime en radians l’angle tourné dans la situation.
Cet angle et $\frac{π}{2}$ repèrent-ils la même position ? Pourquoi ?

Radian

Un tour complet mesure

2 π

radians ;

180 ° = π

rad. Pour convertir :

α_{rad} = \frac{π}{180} \times α_{deg}

Exemple à traiter : Convertis en radians : 30°, 45°, 60°, 120°, 270°. Convertis en degrés :

\frac{5 π}{6}

\frac{3 π}{4}

R2 · Angle orienté et mesures

Le plan étant orienté, l’angle orienté

(\vec{u}, \vec{v})

a une infinité de mesures

θ + 2 k π

(

k \in Z

). La mesure principale est celle qui appartient à

] - π; π]

Exemple à traiter : Donne la mesure principale de

\frac{17 π}{3}

- \frac{25 π}{4}

\frac{31 π}{6}

Propriétés

• Chasles :

(\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) = (\vec{u}, \vec{w})

(à

2 π

près).
•

(\vec{v}, \vec{u}) = - (\vec{u}, \vec{v})

;

(- \vec{u}, \vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}) + π

Exemple à traiter : Sachant

(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{π}{3}

(\vec{v}, \vec{w}) = \frac{3 π}{4}

, calcule

(\vec{u}, \vec{w})

(\vec{w}, \vec{u})

(- \vec{u}, \vec{w})

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Erreurs fréquentes

⚠ Mesure principale hors intervalle

Elle doit être dans

] - π; π]

⚠ Ordre des vecteurs

(\vec{u}, \vec{v})

(\vec{v}, \vec{u})

sont opposés.

Exercice d’application

$A B C$ est un triangle équilatéral direct. Donne une mesure de $(\vec{A B}, \vec{A C})$ , $(\vec{B A}, \vec{B C})$ et $(\vec{A B}, \vec{C A})$ .
Donne la mesure principale de $\frac{2026 π}{3}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

π

rad = 180°. Un angle orienté a des mesures

θ + 2 k π

; la principale est dans

] - π; π]

. Chasles s’applique aux angles orientés.