Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Angles inscrits et polygones réguliers · Leçon 4

Angles inscrits définis par une demi-tangente

Un cas limite de l’angle inscrit.

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Cours de Mathématiques : « Angles inscrits définis par une demi-tangente », proposé par ndolomathndolomath

Angle tangentiel

💡 Idée principale : L’angle formé par une corde

[A B]

et la demi-tangente en

A

intercepte l’arc

A B

. Comme un angle inscrit, il vaut la moitié de l’angle au centre correspondant. Cette propriété permet de construire l’arc capable.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître l’angle entre une corde et une demi-tangente.
Démontrer qu’il vaut la moitié de l’angle au centre.
Construire l’arc capable associé à un segment et un angle.

Pourquoi cette leçon ?

Pour placer une caméra qui voit un but sous un angle donné, ou retrouver la position d’un bateau à partir de deux amers, on utilise l’arc capable, fondé sur l’angle tangentiel.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce le théorème de l’angle inscrit.

La tangente en

A

à un cercle de centre

O

est perpendiculaire à quoi ?

Dans un triangle isocèle

O A B

, exprime

\hat{O A B}

en fonction de

\hat{A O B}

Situation problème : La caméra du stade

Pour filmer un but $[A B]$ de 7,32 m, un cadreur veut voir le but exactement sous un angle de 30°.
Où peut-il placer sa caméra ? Décris l’ensemble des positions possibles.

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Activité d’apprentissage

On considère un cercle de centre $O$ , une corde $[A B]$ et la demi-tangente $[A x)$ en $A$ du côté opposé à $O$ . On note $α$ l’angle $\hat{x A B}$ .

Pourquoi $\hat{O A x} = 90 °$ ?
Exprime $\hat{O A B}$ en fonction de $\hat{A O B}$ .
Déduis-en $α = \frac{1}{2} \hat{A O B}$ .
Utilise ce résultat pour répondre à la situation.

Angle tangentiel

[A x)

est la demi-tangente en

A

au cercle et

[A B]

une corde, l’angle

\hat{x A B}

intercepte l’arc

A B

et :

\hat{x A B} = \frac{1}{2} \hat{A O B}

Il est égal à tout angle inscrit interceptant le même arc.

Exemple à traiter : La tangente en

A

fait avec la corde

[A B]

un angle de 40°. Calcule

\hat{A O B}

et un angle inscrit interceptant l’arc

A B

R2 · Arc capable

L’ensemble des points

M

tels que

\hat{A M B} = α

(avec

0 < α < 180 °

) est formé de deux arcs de cercle symétriques par rapport à

(A B)

, privés de

A

B

: les arcs capables.

Exemple à traiter : Décris l’ensemble des points

M

tels que

\hat{A M B} = 90 °

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Construction

Pour construire l’arc capable : tracer la demi-droite

[A x)

telle que

\hat{x A B} = α

; la perpendiculaire à

[A x)

A

coupe la médiatrice de

[A B]

au centre

O

; l’arc de centre

O

passant par

A

B

, situé de l’autre côté de

[A x)

, convient.

Exemple à traiter : Construis l’arc capable des points voyant un segment de 5 cm sous un angle de 60°.

Erreurs fréquentes

⚠ Mauvais arc

L’angle tangentiel intercepte l’arc situé du côté de la demi-tangente.

⚠ Oublier le symétrique

Il y a deux arcs capables, de part et d’autre de

(A B)

Exercice d’application

Démontre que la tangente en $A$ au cercle circonscrit à un triangle $A B C$ forme avec $[A B]$ un angle égal à $\hat{A C B}$ .
Construis l’ensemble des points voyant $[A B]$ (6 cm) sous un angle de 45°.
Réponds à la situation problème.

À retenir

L’angle entre une corde et la demi-tangente vaut la moitié de l’angle au centre. Les points qui voient

[A B]

sous un angle donné forment deux arcs capables.