Cours
MATHÉMATIQUES · 2nde C-E
Chapitre : Angles inscrits et polygones réguliers · Leçon 3

Construction des polygones réguliers

Partager le cercle en parties égales.
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Cours de Mathématiques : « Construction des polygones réguliers », proposé par ndolomathndolomath
Polygones réguliers
💡 Idée principale : Un polygone régulier à n côtés est inscrit dans un cercle ; ses sommets partagent le cercle en n arcs égaux. L’angle au centre vaut 360°n. On construit facilement le triangle équilatéral, le carré, l’hexagone et l’octogone réguliers.
Ce que tu vas apprendre
  1. Définir un polygone régulier et son angle au centre.
  2. Construire à la règle et au compas les polygones réguliers usuels.
  3. Calculer côté, apothème, périmètre et aire en fonction du rayon.
Pourquoi cette leçon ?
Écrous, carreaux, alvéoles, logos : les polygones réguliers sont partout en technique et en art. Pour les fabriquer, il faut les construire et les calculer précisément.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule sin⁡30°, cos⁡30° et sin⁡45°.
2
Construis la médiatrice d’un segment.
3
Calcule l’aire d’un triangle de base b et de hauteur h.
Situation problème : L’écrou hexagonal

Un ajusteur fabrique un écrou en forme d’hexagone régulier inscrit dans un cercle de 12 mm de rayon, puis un carreau en octogone régulier de même rayon.
Quelle est la longueur d’un côté de chaque polygone ? Lequel a la plus grande aire ?

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Activité d’apprentissage

On trace un cercle de centre O et de rayon r.

  1. Construis un hexagone régulier en reportant le rayon sur le cercle. Pourquoi cela fonctionne-t-il ?
  2. Construis un octogone régulier à partir de deux diamètres perpendiculaires et de leurs bissectrices.
  3. Exprime l’aire d’un des triangles de sommet O en fonction de r et de l’angle au centre.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Définition
Un polygone convexe est régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles la même mesure. Il est inscrit dans un cercle de centre O ; l’angle au centre vaut θ=360°n et chaque angle intérieur 180°−θ.
Exemple à traiter : Calcule l’angle au centre et l’angle intérieur d’un pentagone et d’un dodécagone réguliers.
R2 · Côté et apothème
Pour un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon r : c=2rsin⁡180°na=rcos⁡180°n où a est l’apothème (distance du centre à un côté).
Exemple à traiter : Calcule le côté et l’apothème du triangle équilatéral, du carré et de l’hexagone inscrits dans un cercle de rayon 6 cm.
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R3
Aire
A=12×périmètre×apothème=n2r2sin⁡360°n
Exemple à traiter : Calcule l’aire de l’hexagone et de l’octogone réguliers inscrits dans un cercle de rayon r.
Erreurs fréquentes
⚠ Angle au centre et angle intérieur
L’angle au centre de l’hexagone est 60°, son angle intérieur 120°.
⚠ Rayon et apothème
Le rayon va au sommet ; l’apothème au milieu d’un côté.
Exercice d’application
  1. Construis un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 4 cm à l’aide du rapporteur.
  2. Montre que l’aire du dodécagone régulier inscrit dans un cercle de rayon r vaut 3r2.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Polygone régulier à n côtés : angle au centre 360°n, côté 2rsin⁡180°n, aire n2r2sin⁡360°n.
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