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MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Angles inscrits et polygones réguliers · Leçon 2

Quadrilatère inscriptible dans un cercle

Quand quatre points sont-ils sur un même cercle ?

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Cours de Mathématiques : « Quadrilatère inscriptible dans un cercle », proposé par ndolomathndolomath

Quadrilatère inscriptible

💡 Idée principale : Un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle si et seulement si ses angles opposés sont supplémentaires. On peut aussi le reconnaître grâce à deux angles inscrits égaux interceptant le même côté.

Ce que tu vas apprendre

Énoncer la propriété des angles opposés d’un quadrilatère inscrit.
Démontrer qu’un quadrilatère est inscriptible.
Démontrer que quatre points sont cocycliques.

Pourquoi cette leçon ?

Un charpentier veut savoir si les quatre coins d’un plancher peuvent s’inscrire dans un cercle pour construire un toit conique. Les angles du quadrilatère suffisent pour répondre.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce le théorème de l’angle inscrit.

Que sont deux angles supplémentaires ?

Quelle est la somme des angles d’un quadrilatère ?

Situation problème : Les quatre poteaux

Un charpentier place quatre poteaux $A$ , $B$ , $C$ , $D$ pour une case. Il mesure $\hat{D A B} = 110 °$ et $\hat{B C D} = 70 °$ , puis $\hat{A B C} = 95 °$ .
Les quatre poteaux sont-ils sur un même cercle ? Que vaut alors $\hat{C D A}$ ?

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Activité d’apprentissage

On considère un quadrilatère $A B C D$ inscrit dans un cercle de centre $O$ .

Exprime $\hat{D A B}$ et $\hat{B C D}$ à l’aide des angles au centre interceptant les deux arcs $B D$ .
Calcule $\hat{D A B} + \hat{B C D}$ .
Énonce la propriété obtenue et sa réciproque.
Réponds à la situation problème.

Propriété directe

Si un quadrilatère convexe

A B C D

est inscrit dans un cercle, alors ses angles opposés sont supplémentaires :

\hat{A} + \hat{C} = 180 °

\hat{B} + \hat{D} = 180 °

Exemple à traiter :

A B C D

est inscrit dans un cercle avec

\hat{A} = 82 °

\hat{B} = 107 °

. Calcule

\hat{C}

\hat{D}

R2 · Réciproque

Si un quadrilatère convexe a deux angles opposés supplémentaires, alors il est inscriptible dans un cercle.

Exemple à traiter : Un rectangle est-il inscriptible ? Un parallélogramme non rectangle ? Justifie.

Points cocycliques

Quatre points

A

B

M

N

avec

M

N

du même côté de

(A B)

sont cocycliques si et seulement si

\hat{A M B} = \hat{A N B}

Exemple à traiter : Dans un triangle

A B C

H

K

sont les pieds des hauteurs issues de

B

C

. Démontre que

B

C

H

K

sont cocycliques.

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Erreurs fréquentes

⚠ Quadrilatère croisé

La propriété des angles opposés concerne les quadrilatères convexes.

⚠ Angles consécutifs

Ce sont les angles opposés qui sont supplémentaires.

Exercice d’application

Démontre qu’un trapèze isocèle est inscriptible.
$A B C D$ est un quadrilatère avec $\hat{A} = 3 x$ , $\hat{C} = 2 x + 30 °$ . Pour quelle valeur de $x$ est-il inscriptible ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Quadrilatère convexe inscriptible ⟺ angles opposés supplémentaires. Quatre points cocycliques ⟺ deux angles inscrits égaux sur la même corde.