Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde C-E

Chapitre : Angles inscrits et polygones réguliers · Leçon 1

Mesure d’un angle inscrit dans un cercle

La moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

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Cours de Mathématiques : « Mesure d’un angle inscrit dans un cercle », proposé par ndolomathndolomath

Angle inscrit

💡 Idée principale : Un angle inscrit a son sommet sur le cercle. Sa mesure est la moitié de celle de l’angle au centre qui intercepte le même arc. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître un angle inscrit et l’angle au centre associé.
Démontrer et utiliser la relation angle inscrit / angle au centre.
Utiliser l’égalité des angles inscrits interceptant le même arc.

Pourquoi cette leçon ?

Le théorème de l’angle inscrit permet de calculer des angles inaccessibles, de construire des arcs capables et de démontrer que des points sont sur un même cercle.

Prérequis : vérifie tes bases

Dans un triangle isocèle, que dire des angles à la base ?

Quelle est la somme des angles d’un triangle ?

Définis un angle au centre.

Situation problème : Le tir au but

Sur un terrain, les poteaux $A$ et $B$ d’un but sont sur un cercle $(C)$ de centre $O$ avec $\hat{A O B} = 70 °$ . Trois joueurs $M$ , $N$ , $P$ sont placés sur le grand arc $A B$ .
Sous quel angle chacun voit-il le but ? Qui est le mieux placé ?

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Activité d’apprentissage

On démontre la relation dans le cas où $[M B]$ est un diamètre.

Justifie que le triangle $O M A$ est isocèle en $O$ .
Exprime $\hat{A O B}$ (angle extérieur du triangle $O M A$ ) en fonction de $\hat{O M A}$ .
Conclus que $\hat{A M B} = \frac{1}{2} \hat{A O B}$ .
Réponds à la situation problème.

Théorème de l’angle inscrit

Dans un cercle de centre

O

, si

\hat{A M B}

est un angle inscrit et

\hat{A O B}

l’angle au centre interceptant le même arc, alors :

\hat{A M B} = \frac{1}{2} \hat{A O B}

Exemple à traiter :

\hat{A O B} = 124 °

. Calcule l’angle inscrit

\hat{A M B}

avec

M

sur le grand arc, puis avec

M

sur le petit arc.

R2 · Angles inscrits égaux

Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux. Deux angles inscrits qui interceptent des arcs complémentaires (même corde, arcs opposés) sont supplémentaires.

Exemple à traiter :

A

B

C

D

sont sur un cercle avec

\hat{A C B} = 38 °

. Calcule

\hat{A D B}

selon la position de

D

Demi-cercle

Un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle est droit :

M

est sur le cercle de diamètre

[A B]

(

M \neq A, B

) si et seulement si

\hat{A M B} = 90 °

Exemple à traiter : Démontre que si

\hat{A M B} = \hat{A N B} = 90 °

, alors

A

B

M

N

sont sur un même cercle dont on précisera le centre.

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Erreurs fréquentes

⚠ Double au lieu de moitié

C’est l’angle au centre qui vaut le double de l’angle inscrit.

⚠ Arcs différents

Les angles doivent intercepter le même arc.

Exercice d’application

Dans un cercle de centre $O$ , $\hat{B A C} = 47 °$ . Calcule $\hat{B O C}$ et les angles du triangle $O B C$ .
$A B C D$ est inscrit dans un cercle, ses diagonales se coupent en $I$ . Démontre que $I A \times I C = I B \times I D$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Angle inscrit = moitié de l’angle au centre (même arc). Même arc : angles inscrits égaux. Demi-cercle : angle droit.