Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Fonctions · Leçon 1

Fonctions et applications : définition, images, antécédents, courbe

Une machine qui associe à chaque nombre un résultat.

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Cours de Mathématiques : « Fonctions et applications : définition, images, antécédents, courbe », proposé par ndolomathndolomath

Notion de fonction

💡 Idée principale : Une fonction

f

associe à un nombre

x

au plus un nombre

f (x)

, son image. Elle est définie sur un ensemble

D_{f}

. On la représente par une courbe : l’ensemble des points

(x; f (x))

Ce que tu vas apprendre

Calculer l’image d’un nombre et chercher ses antécédents.
Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction simple.
Lire images, antécédents et sens de variation sur une courbe.

Pourquoi cette leçon ?

Le prix d’un trajet en fonction de la distance, la température en fonction de l’heure, la recette en fonction du nombre d’articles vendus : une fonction décrit comment une grandeur dépend d’une autre.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

3 x^{2} - 1

pour

x = - 2

Résous

2 x + 1 = 7

Place les points

(1; 3)

(- 2; 0)

dans un repère.

Situation problème : La température de la journée

Un élève relève la température à Maroua : 6 h → 24 °C ; 9 h → 30 °C ; 12 h → 38 °C ; 15 h → 40 °C ; 18 h → 33 °C ; 21 h → 28 °C.
Représente ces relevés. À quelle heure fait-il le plus chaud ? À quels moments fait-il 33 °C ?

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Activité d’apprentissage

On note $T$ la fonction qui associe à l’heure la température.

Quelle est l’image de 12 par $T$ ?
Place les points dans un repère et relie-les par une courbe régulière.
Lis sur la courbe les antécédents de 33.
Décris les variations de la température.

Image et antécédent

Pour une fonction

f

: l’image de

a

est

f (a)

(unique) ; un antécédent de

b

est un nombre

x

tel que

f (x) = b

(il peut y en avoir plusieurs ou aucun).

Exemple à traiter : Soit

f (x) = x^{2} - 4

. Calcule

f (3)

f (- 3)

et cherche les antécédents de 0 et de

- 5

R2 · Ensemble de définition

L’ensemble de définition

D_{f}

est l’ensemble des réels qui ont une image. On exclut les valeurs qui annulent un dénominateur ou rendent négatif un nombre sous une racine.

Exemple à traiter : Donne l’ensemble de définition de

g (x) = \frac{2}{x - 3}

et de

h (x) = \sqrt{x + 1}

Courbe représentative

La courbe de

f

est l’ensemble des points

M (x; f (x))

avec

x \in D_{f}

. On y lit l’image (lecture verticale), les antécédents (lecture horizontale) et le sens de variation (la courbe monte ou descend).

Exemple à traiter : Trace la courbe de

f (x) = x^{2} - 4

sur

[- 3; 3]

à l’aide d’un tableau de valeurs.

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Erreurs fréquentes

⚠ Confondre image et antécédent

L’image se calcule ; l’antécédent se cherche en résolvant

f (x) = b

⚠ Oublier le domaine

On ne calcule pas

f (3)

si 3 n’est pas dans

D_{f}

Exercice d’application

Soit $f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . Donne $D_{f}$ , calcule $f (0)$ et cherche l’antécédent de 2.
Dresse un tableau de valeurs de $f (x) = - x^{2} + 2 x$ sur $[- 1; 3]$ et trace sa courbe.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Image unique, antécédents éventuellement multiples.

D_{f}

: valeurs qui ont une image. Courbe : points

(x; f (x))