Résolution graphique des systèmes d’équations linéaires

Le point d’intersection de deux droites.

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Cours de Mathématiques : « Résolution graphique des systèmes d’équations linéaires », proposé par ndolomathndolomath

Résolution graphique

💡 Idée principale : Chaque équation linéaire d’un système représente une droite. Résoudre graphiquement le système, c’est lire les coordonnées du point d’intersection des deux droites. Le nombre de solutions dépend de la position des droites.

Ce que tu vas apprendre

Associer une droite à chaque équation d’un système.
Résoudre graphiquement un système.
Interpréter le nombre de solutions (droites sécantes, parallèles, confondues).

Pourquoi cette leçon ?

Un graphique permet de voir d’un coup d’œil la solution d’un problème à deux inconnues, par exemple le point où deux tarifs deviennent égaux.

Prérequis : vérifie tes bases

Trace la droite d’équation

y = 2 x - 1

Écris

x + y = 5

sous la forme

y = \dots

Lis les coordonnées d’un point dans un repère.

Situation problème : Les deux opérateurs

L’opérateur A propose un forfait de 1 000 F plus 50 F par minute ; l’opérateur B propose 100 F par minute sans forfait. On note $x$ le nombre de minutes et $y$ le prix.
Pour combien de minutes les deux opérateurs coûtent-ils la même chose ? Résous graphiquement.

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Activité d’apprentissage

On représente les deux tarifs.

Écris l’équation $y = \dots$ pour chaque opérateur.
Trace les deux droites dans un même repère (unités adaptées).
Lis les coordonnées du point d’intersection.
Vérifie par le calcul et réponds à la situation.

Interprétation graphique

Le système

{\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases}

correspond à deux droites. Ses solutions sont les coordonnées des points communs aux deux droites.

Exemple à traiter : Écris sous la forme

y = m x + p

les équations du système

{\begin{cases} x + y = 4 \\ 2 x - y = 2 \end{cases}

R2 · Nombre de solutions

• Droites sécantes : une solution unique.
• Droites strictement parallèles : aucune solution.
• Droites confondues : une infinité de solutions.

Exemple à traiter : Sans résoudre, donne le nombre de solutions de

{\begin{cases} y = 2 x + 1 \\ y = 2 x - 3 \end{cases}

et de

{\begin{cases} x + y = 2 \\ 2 x + 2 y = 4 \end{cases}

Précision

La lecture graphique donne une solution approchée. On la vérifie ou on la précise par le calcul.

Exemple à traiter : Résous graphiquement puis par le calcul

{\begin{cases} x + y = 4 \\ 2 x - y = 2 \end{cases}

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Erreurs fréquentes

⚠ Lecture inversée

On lit d’abord l’abscisse, puis l’ordonnée.

⚠ Échelle mal choisie

On choisit des unités qui permettent de voir le point d’intersection.

Exercice d’application

Résous graphiquement ${\begin{cases} y = - x + 5 \\ y = \frac{1}{2} x + 2 \end{cases}$
Donne un système sans solution et justifie graphiquement.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Chaque équation est une droite ; la solution est le point d’intersection. Sécantes : une solution ; parallèles : aucune ; confondues : une infinité.