Cours
MATHÉMATIQUES · 2nde A
Chapitre : Équations-Inéquations et Systèmes · Leçon 4

Inéquations du premier degré dans ℝ² et systèmes d’inéquations

Des demi-plans pour représenter des contraintes.
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Cours de Mathématiques : « Inéquations du premier degré dans ℝ² et systèmes d’inéquations », proposé par ndolomathndolomath
Inéquations dans ℝ²
💡 Idée principale : Les solutions de ax+by+c>0 forment un demi-plan limité par la droite ax+by+c=0. Les solutions d’un système d’inéquations forment la région commune à plusieurs demi-plans.
Ce que tu vas apprendre
  1. Représenter graphiquement les solutions d’une inéquation linéaire dans R2.
  2. Représenter les solutions d’un système d’inéquations.
  3. Utiliser cette représentation pour un problème de contraintes.
Pourquoi cette leçon ?
Une couturière dispose d’un temps et d’un tissu limités pour coudre deux modèles de vêtements. Les combinaisons possibles forment une région du plan que l’on peut dessiner.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Trace la droite d’équation x+2y=6.
2
Le point (0;0) vérifie-t-il x+2y<6 ?
3
Résous 2x−4≥0.
Situation problème : L’atelier de couture

Une couturière fabrique des robes (x) et des chemises (y). Elle a au plus 20 heures : une robe demande 4 h et une chemise 2 h. Elle a 12 m de tissu : une robe en demande 3 m et une chemise 1 m.
Représente toutes les combinaisons possibles. Peut-elle faire 3 robes et 4 chemises ?

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Activité d’apprentissage

On traduit les contraintes de la couturière.

  1. Écris les inégalités sur le temps, le tissu et le signe de x et y.
  2. Trace les droites frontières dans un repère.
  3. Hachure, pour chaque inégalité, la partie qui ne convient pas.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Une inéquation
La droite (D):ax+by+c=0 partage le plan en deux demi-plans. L’un est l’ensemble des solutions de ax+by+c>0, l’autre de ax+by+c<0. On les distingue en testant un point hors de (D).
Exemple à traiter : Représente l’ensemble des solutions de 2x−y+3>0.
R2 · Système d’inéquations
L’ensemble des solutions d’un système est l’intersection des demi-plans solutions de chaque inéquation. On hachure les parties qui ne conviennent pas : la région restée blanche est la solution.
Exemple à traiter : Représente l’ensemble des solutions de {x≥0y≥0x+y≤4
R3
Bords
Si l’inégalité est large (≤, ≥), la droite fait partie des solutions (trait plein) ; si elle est stricte, non (pointillés).
Exemple à traiter : Représente y<x+1 en précisant la nature du trait.
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Erreurs fréquentes
⚠ Point test sur la droite
Le point test ne doit pas appartenir à la droite frontière.
⚠ Oublier x≥0
Des quantités imposent x≥0 et y≥0.
Exercice d’application
  1. Représente {x+2y≤83x+y≤9x≥0, y≥0 et donne les sommets de la région.
  2. Le couple (2;3) est-il solution ?
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Une inéquation linéaire : un demi-plan. Un système : la région commune. Trait plein si inégalité large, pointillés si stricte.
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Préparation du PDF…