Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Équations-Inéquations et Systèmes · Leçon 3

Systèmes d’équations linéaires dans ℝ²

Deux conditions, deux inconnues, un couple solution.

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Cours de Mathématiques : « Systèmes d’équations linéaires dans ℝ² », proposé par ndolomathndolomath

Systèmes de deux équations

💡 Idée principale : Un système de deux équations linéaires à deux inconnues cherche le couple

(x; y)

qui vérifie les deux équations à la fois. On le résout par substitution, par combinaison ou par la méthode des déterminants.

Ce que tu vas apprendre

Vérifier qu’un couple est solution d’un système.
Résoudre un système par substitution et par combinaison.
Utiliser la méthode des déterminants (Cramer).
Mettre un problème en système.

Pourquoi cette leçon ?

Deux clientes achètent des quantités différentes de deux produits et paient des sommes différentes : pour retrouver le prix de chaque produit, on résout un système.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous :

3 x - 5 = 10

Exprime

y

en fonction de

x

dans

2 x + y = 7

Calcule

3 \times 4 - 2 \times 5

Situation problème : Les beignets et le bouillie

Au petit-déjeuner, Ali achète 4 beignets et 2 bols de bouillie pour 600 F. Bouba achète 3 beignets et 3 bols de bouillie pour 675 F.
Quel est le prix d’un beignet et celui d’un bol de bouillie ?

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Activité d’apprentissage

On note $x$ le prix d’un beignet et $y$ celui d’un bol, en francs.

Écris le système traduisant les deux achats.
Simplifie la première équation, puis exprime $y$ en fonction de $x$ .
Remplace dans la seconde équation et résous.
Vérifie et réponds à la situation.

Système et solution

Un système de deux équations linéaires s’écrit

{\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases}

. Une solution est un couple

(x; y)

qui vérifie les deux équations.

Exemple à traiter : Le couple

(3; - 1)

est-il solution de

{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ x - 3 y = 6 \end{cases}

R2 · Substitution et combinaison

• Substitution : on exprime une inconnue en fonction de l’autre dans une équation et on remplace dans l’autre.
• Combinaison : on multiplie les équations pour que les coefficients d’une inconnue soient opposés, puis on additionne.

Exemple à traiter : Résous par la méthode de ton choix :

{\begin{cases} 3 x + 2 y = 7 \\ 5 x - 4 y = 30 \end{cases}

Méthode des déterminants

On calcule

D = a b^{'} - a^{'} b

. Si

D \neq 0

, le système a une solution unique :

x = \frac{c b^{'} - c^{'} b}{D} y = \frac{a c^{'} - a^{'} c}{D}

Exemple à traiter : Résous avec les déterminants :

{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ x + 3 y = 9 \end{cases}

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Erreurs fréquentes

⚠ Une seule équation vérifiée

La solution doit vérifier les deux équations.

⚠ Erreur de signe

Dans la combinaison, on multiplie tous les termes, y compris le second membre.

Exercice d’application

Résous : ${\begin{cases} x + y = 50 \\ 2 x + 4 y = 140 \end{cases}$ et interprète si $x$ et $y$ sont des nombres de poules et de chèvres.
Résous avec les déterminants : ${\begin{cases} 4 x + 3 y = 1 \\ 6 x - 5 y = 11 \end{cases}$
Réponds à la situation problème.

À retenir

Un système cherche le couple qui vérifie les deux équations. Méthodes : substitution, combinaison, déterminants (

D = a b^{'} - a^{'} b \neq 0