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MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Équations-Inéquations et Systèmes · Leçon 2

Tableau des signes d’un binôme ax + b

Positif ou négatif selon les valeurs de x.

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Cours de Mathématiques : « Tableau des signes d’un binôme ax + b », proposé par ndolomathndolomath

Signe de ax + b

💡 Idée principale : Le binôme

a x + b

(avec

a \neq 0

) s’annule en

x_{0} = - \frac{b}{a}

. Il est du signe de

a

à droite de

x_{0}

et du signe contraire à gauche. On résume cela dans un tableau de signes, utile pour résoudre des inéquations.

Ce que tu vas apprendre

Trouver la valeur qui annule $a x + b$ .
Dresser le tableau de signes de $a x + b$ .
Utiliser des tableaux de signes pour étudier un produit ou un quotient.

Pourquoi cette leçon ?

Le bénéfice d’un commerçant est positif ou négatif selon la quantité vendue. Le tableau de signes montre d’un coup d’œil pour quelles quantités il gagne ou perd de l’argent.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous :

2 x - 6 = 0

Calcule

2 x - 6

pour

x = 0

x = 5

Résous

- 3 x + 9 > 0

Situation problème : Le bénéfice du vendeur de jus

Un vendeur de jus dépense 6 000 F de matériel par jour et vend chaque bouteille 300 F. Son bénéfice est $B (x) = 300 x - 6 000$ , où $x$ est le nombre de bouteilles vendues.
À partir de combien de bouteilles gagne-t-il de l’argent ? Dresse le tableau de signes de $B (x)$ .

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Activité d’apprentissage

On étudie le signe de $B (x) = 300 x - 6 000$ .

Pour quelle valeur de $x$ le bénéfice est-il nul ?
Calcule $B (10)$ et $B (30)$ . Quel est leur signe ?
Complète le tableau de signes.
Réponds à la situation problème.

Racine du binôme

Le binôme

a x + b

(

a \neq 0

) s’annule pour

x_{0} = - \frac{b}{a}

Exemple à traiter : Trouve la valeur qui annule :

4 x - 8

;

- 2 x + 5

;

3 x + 1

R2 · Règle des signes

a x + b

est du signe de $a$ pour

x > x_{0}

et du signe contraire de $a$ pour

x < x_{0}

\begin{array}{cccccc} x & - \infty & x_{0} & + \infty \\ a x + b & signe de - a & 0 & signe de a \end{array}

Exemple à traiter : Dresse le tableau de signes de

2 x - 6

puis de

- 3 x + 12

Produits et quotients

Pour étudier le signe de

(a x + b) (c x + d)

ou de

\frac{a x + b}{c x + d}

, on fait un tableau avec une ligne par facteur, puis on applique la règle des signes. Une valeur interdite est marquée par une double barre.

Exemple à traiter : Dresse le tableau de signes de

(x - 2) (x + 3)

, puis résous

(x - 2) (x + 3) < 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Inverser les signes

À droite de la racine,

a x + b

a le signe de

a

⚠ Oublier la double barre

Dans un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite.

Exercice d’application

Dresse le tableau de signes de $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ .
Résous : $(3 - x) (2 x + 1) \geq 0$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

a x + b

s’annule en

- \frac{b}{a}

, est du signe de

a

à droite et du signe contraire à gauche.