Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Dénombrement · Leçon 2

Premiers outils du dénombrement : arbre de choix, arbre des parties

Représenter tous les choix possibles.

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Cours de Mathématiques : « Premiers outils du dénombrement : arbre de choix, arbre des parties », proposé par ndolomathndolomath

Arbres de dénombrement

💡 Idée principale : Un arbre de choix représente des choix successifs : chaque branche est une possibilité. Le nombre total de possibilités est le produit des nombres de choix à chaque étape (principe multiplicatif). L’arbre des parties permet de lister tous les sous-ensembles d’un ensemble.

Ce que tu vas apprendre

Construire un arbre de choix.
Appliquer le principe multiplicatif.
Construire un arbre des parties et dénombrer les parties d’un ensemble.

Pourquoi cette leçon ?

Combien de tenues avec 3 chemises et 2 pantalons ? Combien de codes à 3 chiffres ? Combien de groupes possibles avec 4 amis ? Les arbres répondent en organisant tous les cas.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

3 \times 4 \times 2

Écris toutes les façons de choisir une lettre parmi A, B, C.

Calcule

2^{4}

Situation problème : Le menu de la cantine

La cantine propose 2 entrées (salade, avocat), 3 plats (poisson, poulet, ndolé) et 2 desserts (fruit, yaourt). Un élève choisit une entrée, un plat et un dessert.
Combien de menus différents peut-il composer ? Écris-les tous.

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Activité d’apprentissage

On construit un arbre des menus.

Dessine la première étape de l’arbre : les entrées.
Ajoute pour chaque entrée les branches des plats, puis des desserts.
Compte les chemins complets.
Compare avec $2 \times 3 \times 2$ et réponds à la situation.

Arbre de choix

Un arbre de choix représente des choix successifs. Chaque chemin, de la racine à une extrémité, correspond à une possibilité.

Exemple à traiter : Construis l’arbre des résultats possibles quand on lance deux fois une pièce (Pile ou Face).

R2 · Principe multiplicatif

Si un choix se fait en

k

étapes avec

n_{1}

n_{2}

, …,

n_{k}

possibilités à chaque étape, le nombre total de possibilités est

n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}

Exemple à traiter : Combien de plaques peut-on former avec 2 lettres (parmi 26) suivies de 3 chiffres ?

Arbre des parties

Pour lister les parties d’un ensemble, on décide pour chaque élément s’il est pris ou non (2 choix). Un ensemble à

n

éléments a

2^{n}

parties (y compris

\emptyset

et l’ensemble lui-même).

Exemple à traiter : Écris toutes les parties de

{a, b, c}

à l’aide d’un arbre. Combien y en a-t-il ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Additionner au lieu de multiplier

Pour des choix successifs, on multiplie les nombres de possibilités.

⚠ Oublier l’ensemble vide

L’ensemble vide est une partie de tout ensemble.

Exercice d’application

Un code de cadenas comporte 3 chiffres de 0 à 9. Combien de codes possibles ? Et si les chiffres doivent être différents ?
Combien de parties a un ensemble de 5 éléments ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Choix successifs : on multiplie les nombres de possibilités. Un ensemble à

n

éléments a

2^{n}

parties.