Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 3

Simplification des fractions rationnelles

Factoriser, donner la condition d’existence, simplifier.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Simplification des fractions rationnelles », proposé par ndolomathndolomath

Fractions rationnelles

💡 Idée principale : Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Elle n’existe que si son dénominateur est non nul. Pour la simplifier, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on supprime les facteurs communs.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer la condition d’existence d’une fraction rationnelle.
Simplifier une fraction rationnelle.
Calculer une valeur numérique à l’aide de la forme simplifiée.

Pourquoi cette leçon ?

Le coût moyen d’une production ou un rendement s’écrivent souvent sous forme de quotient. Le simplifier rend les calculs rapides, à condition de ne pas oublier les valeurs interdites.

Prérequis : vérifie tes bases

Factorise :

x^{2} - 9

;

2 x + 6

Simplifie

\frac{24}{36}

Résous

(x - 3) (x + 3) = 0

Situation problème : Le coût moyen

Le coût moyen de fabrication d’un objet est donné par $C (x) = \frac{x^{2} - 9}{2 x + 6}$ , où $x$ est un nombre lié à la production.
Pour quelles valeurs de $x$ ce coût est-il défini ? Écris-le plus simplement et calcule-le pour $x = 11$ .

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Simplification des fractions rationnelles », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On étudie $C (x)$ .

Pour quelle valeur de $x$ le dénominateur s’annule-t-il ?
Factorise le numérateur et le dénominateur.
Supprime le facteur commun.
Calcule $C (11)$ avec la forme simplifiée.

Condition d’existence

La fraction rationnelle

\frac{P (x)}{Q (x)}

existe si et seulement si

Q (x) \neq 0

. Les valeurs qui annulent

Q (x)

sont les valeurs interdites.

Exemple à traiter : Donne les valeurs interdites de

\frac{x + 1}{x - 5}

et de

\frac{3}{x^{2} - 4}

R2 · Simplifier

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur.
2. Écrire la condition d’existence (avec le dénominateur de départ).
3. Supprimer les facteurs communs.

Exemple à traiter : Simplifie :

\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4}

Valeur numérique

On vérifie que la valeur est autorisée, puis on utilise la forme simplifiée. Une valeur interdite reste interdite après simplification.

Exemple à traiter : Avec la fraction de l’exemple R2, calcule sa valeur pour

x = 0

. Peut-on la calculer pour

x = 2

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Simplification des fractions rationnelles », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Simplifier des termes

\frac{x + 3}{x + 5}

ne se simplifie pas.

⚠ Oublier une valeur interdite

On lit les valeurs interdites sur le dénominateur avant simplification.

Exercice d’application

Simplifie : $\frac{3 x^{2} - 12}{6 x + 12}$ en précisant les valeurs interdites.
Simplifie : $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Fraction rationnelle : dénominateur non nul. On factorise, on écrit la condition d’existence, puis on simplifie les facteurs communs.