Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 2

Développement des polynômes

Réduire et ordonner une expression.

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Cours de Mathématiques : « Développement des polynômes », proposé par ndolomathndolomath

Développer des polynômes

💡 Idée principale : Développer un produit de polynômes, c’est le transformer en somme avec la distributivité et les identités remarquables. On réduit ensuite en regroupant les termes semblables, puis on ordonne selon les puissances décroissantes.

Ce que tu vas apprendre

Développer avec la distributivité simple et double.
Utiliser les identités remarquables pour développer.
Réduire et ordonner un polynôme ; donner son degré.

Pourquoi cette leçon ?

Pour comparer deux formules de coût ou d’aire, il est souvent plus simple de les développer et de les ordonner : on voit alors immédiatement si elles sont égales.

Prérequis : vérifie tes bases

Réduis :

3 x^{2} - 2 x + 5 - x^{2} + 7 x

Calcule :

(- 2 x) (3 x)

;

(5 x)^{2}

Complète :

(a - b)^{2} = \dots

Situation problème : Les deux formules

Deux élèves calculent l’aire d’un terrain dont les dimensions dépendent de $x$ . Le premier trouve $(2 x + 3) (x - 1) + (x + 2)^{2}$ , le second $3 x^{2} + 5 x + 1$ .
Ont-ils trouvé la même expression ?

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Activité d’apprentissage

On développe l’expression du premier élève.

Développe $(2 x + 3) (x - 1)$ .
Développe $(x + 2)^{2}$ .
Additionne, réduis et ordonne.
Compare avec l’expression du second élève.

Distributivité

k (a + b) = k a + k b (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Exemple à traiter : Développe et réduis :

A = - 3 x (2 x - 5)

;

B = (3 x - 2) (x + 4)

R2 · Identités remarquables

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Exemple à traiter : Développe :

(3 x + 1)^{2}

;

(x - 4)^{2}

;

(2 x + 5) (2 x - 5)

Réduire, ordonner, degré

Un polynôme est réduit quand ses termes semblables sont regroupés, ordonné quand ses termes sont rangés par puissances décroissantes de

x

. Son degré est le plus grand exposant de

x

Exemple à traiter : Développe, réduis, ordonne et donne le degré de

P = (x - 2) (x^{2} + x + 1) - x^{3}

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le double produit

(x + 2)^{2} \neq x^{2} + 4

⚠ Signe devant une parenthèse

- (x - 3) = - x + 3

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Exercice d’application

Développe, réduis et ordonne : $Q = (2 x - 1)^{2} - (x + 3) (x - 3)$ .
Développe : $R = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ et donne son degré.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Développer = produit → somme. On réduit les termes semblables et on ordonne selon les puissances décroissantes.