Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 1

Diverses factorisations simples

Facteur commun et identités remarquables.

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Cours de Mathématiques : « Diverses factorisations simples », proposé par ndolomathndolomath

Factorisations simples

💡 Idée principale : Factoriser, c’est transformer une somme en produit. On met en évidence un facteur commun ou on reconnaît une identité remarquable. La forme factorisée sert à résoudre des équations et à simplifier des fractions.

Ce que tu vas apprendre

Factoriser à l’aide d’un facteur commun.
Factoriser à l’aide des identités remarquables.
Combiner les deux méthodes.

Pourquoi cette leçon ?

Une expression factorisée permet de trouver rapidement pour quelles valeurs elle s’annule, ce qui est utile pour résoudre des équations ou étudier le signe d’un bénéfice.

Prérequis : vérifie tes bases

Développe :

3 (x - 4)

;

(x + 2)^{2}

;

(x - 3) (x + 3)

Complète :

a^{2} - b^{2} = \dots

Écris 49 et

9 x^{2}

comme des carrés.

Situation problème : Le bénéfice de l’atelier

Le bénéfice d’un atelier de couture (en milliers de F) en fonction du nombre $x$ de pagnes cousus est $B = x^{2} - 16 x + 64 - 36$ .
Écris $B$ sous forme d’un produit. Pour quels nombres de pagnes le bénéfice est-il nul ?

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Activité d’apprentissage

On cherche à factoriser $B$ .

Reconnais dans $x^{2} - 16 x + 64$ une identité remarquable et factorise-la.
Écris alors $B$ sous la forme d’une différence de deux carrés.
Factorise $B$ à l’aide d’une autre identité remarquable.
Réponds à la situation problème.

Facteur commun

k a + k b = k (a + b) k a - k b = k (a - b)

Le facteur commun peut être un nombre, une lettre ou une expression entre parenthèses.

Exemple à traiter : Factorise :

A = 5 x - 15

;

B = 3 x^{2} + 6 x

;

C = (x + 1) (2 x - 3) - (x + 1) (x + 4)

R2 · Identités remarquables

a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2} a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2} a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Exemple à traiter : Factorise :

D = x^{2} + 10 x + 25

;

E = 4 x^{2} - 12 x + 9

;

F = 9 x^{2} - 49

Méthode combinée

On peut d’abord factoriser une partie de l’expression par une identité remarquable, puis faire apparaître un facteur commun.

Exemple à traiter : Factorise :

G = x^{2} - 9 + (x + 3) (2 x - 1)

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le 1

2 x + 2 = 2 (x + 1)

et non

2 x

⚠ Somme de carrés

a^{2} + b^{2}

ne se factorise pas dans ℝ comme une identité remarquable.

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Exercice d’application

Factorise : $H = (2 x + 1)^{2} - (x - 3)^{2}$ .
Factorise : $I = 25 x^{2} - 20 x + 4$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Factoriser = somme → produit. Facteur commun d’abord, sinon identités remarquables. On vérifie en développant.