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MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Calcul dans ℝ · Leçon 6

Calcul approché : écriture scientifique, approximation, arrondi

Écrire les nombres très grands ou très petits et arrondir correctement.

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Cours de Mathématiques : « Calcul approché : écriture scientifique, approximation, arrondi », proposé par ndolomathndolomath

Calcul approché

💡 Idée principale : L’écriture scientifique d’un décimal est

a \times 10^{n}

avec

1 \leq a < 10

. Elle permet de comparer facilement des ordres de grandeur. Une approximation décimale d’ordre

n

donne une valeur approchée à

10^{- n}

près, par défaut, par excès ou arrondie.

Ce que tu vas apprendre

Écrire un nombre en notation scientifique.
Donner l’ordre de grandeur d’un résultat.
Donner une approximation décimale d’ordre $n$ par défaut, par excès, et un arrondi.

Pourquoi cette leçon ?

La population du Cameroun, la distance Terre–Soleil ou la taille d’un virus ont trop de chiffres pour être lues facilement. L’écriture scientifique et les arrondis rendent ces nombres utilisables.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris

10^{6}

10^{- 3}

en écriture décimale.

Arrondis 3,1416 au centième.

Calcule

2, 5 \times 10^{3}

Situation problème : La population et le virus

La population du Cameroun était d’environ 28 600 000 habitants. Un virus mesure environ 0,000 000 12 m.
Écris ces nombres en notation scientifique. Combien de virus alignés faudrait-il pour couvrir 1 m ?

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Activité d’apprentissage

On écrit les nombres de la situation sous une forme plus compacte.

Écris 28 600 000 sous la forme $a \times 10^{n}$ avec $1 \leq a < 10$ .
Fais de même pour 0,000 000 12.
Calcule $\frac{1}{1, 2 \times 10^{- 7}}$ en notation scientifique.
Arrondis le résultat à l’unité de puissance de 10 près et réponds à la situation.

Écriture scientifique

Tout décimal non nul s’écrit de façon unique

a \times 10^{n}

avec

1 \leq | a | < 10

n \in Z

. L’ordre de grandeur est obtenu en arrondissant

a

à l’unité.

Exemple à traiter : Donne l’écriture scientifique et un ordre de grandeur de : 345 000 ; 0,0072 ;

52 \times 10^{- 4}

R2 · Approximations d’ordre n

a \leq x < a + 10^{- n}

avec

a

décimal à

n

chiffres après la virgule,

a

est l’approximation par défaut d’ordre

n

a + 10^{- n}

celle par excès.

Exemple à traiter : Donne les approximations d’ordre 2 par défaut et par excès de

\frac{5}{7}

et de

\sqrt{3}

Arrondi d’ordre n

L’arrondi d’ordre

n

est la plus proche des deux approximations d’ordre

n

(on regarde le

(n + 1)

-ième chiffre : 5 ou plus → par excès).

Exemple à traiter : Donne l’arrondi d’ordre 3 de

π

, de

\frac{2}{3}

et de

\sqrt{10}

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Erreurs fréquentes

⚠ Mantisse incorrecte

Dans

a \times 10^{n}

, il faut

1 \leq a < 10

28, 6 \times 10^{6}

n’est pas une écriture scientifique.

⚠ Troncature et arrondi

Tronquer n’est pas arrondir : l’arrondi de 2,768 au dixième est 2,8.

Exercice d’application

Écris en notation scientifique : $A = \frac{3 \times 10^{5} \times 8 \times 10^{- 2}}{6 \times 10^{- 3}}$ .
Donne l’arrondi d’ordre 1 et d’ordre 2 de $\frac{22}{7}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Écriture scientifique :

a \times 10^{n}

1 \leq a < 10

. Approximation d’ordre

n

: à

10^{- n}

près, par défaut ou par excès ; l’arrondi est la plus proche.