Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Calcul dans ℝ · Leçon 5

Puissance à exposant entier relatif d’un réel

Écrire et calculer avec des exposants positifs et négatifs.

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Cours de Mathématiques : « Puissance à exposant entier relatif d’un réel », proposé par ndolomathndolomath

Puissances entières

💡 Idée principale : Pour un réel

a

non nul et un entier

n

a^{n}

est le produit de

n

facteurs égaux à

a

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

. Des règles simples permettent de calculer avec les exposants.

Ce que tu vas apprendre

Définir $a^{n}$ , $a^{0}$ et $a^{- n}$ .
Appliquer les règles de calcul sur les puissances.
Utiliser les puissances de 10.

Pourquoi cette leçon ?

Les populations, les intérêts d’une épargne, la taille des microbes ou les distances en astronomie s’expriment avec des puissances. Il faut savoir les manipuler sans erreur.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

2^{5}

;

(- 3)^{2}

;

10^{4}

Écris

5 \times 5 \times 5

sous forme de puissance.

Calcule

\frac{1}{2^{3}}

Situation problème : L’épargne de la tontine

Dans une tontine, une somme de 10 000 F double tous les 5 ans grâce aux intérêts. Une autre somme, mal placée, perd la moitié de sa valeur tous les 5 ans.
Écris ce que deviennent ces sommes au bout de 20 ans à l’aide de puissances. Combien valait la première somme 10 ans avant le dépôt ?

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Activité d’apprentissage

On écrit l’évolution des sommes avec des puissances de 2.

Au bout de 5, 10, 15 et 20 ans, la première somme vaut $10 000 \times 2^{?}$ .
Pour la seconde somme, écris les valeurs avec des puissances de $\frac{1}{2}$ .
Compare ${(\frac{1}{2})}^{4}$ et $2^{- 4}$ .
Réponds à la situation problème.

Définitions

Pour

a \neq 0

n

entier naturel non nul :

a^{n} = a \times a \times \dots \times a

(

n

facteurs) ;

a^{0} = 1

;

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Exemple à traiter : Calcule :

3^{- 2}

;

{(\frac{2}{3})}^{- 1}

;

(- 2)^{- 3}

;

5^{0}

R2 · Règles de calcul

Pour

a

b

non nuls et

m

n

entiers relatifs :

a^{m} a^{n} = a^{m + n} \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{m n} (a b)^{n} = a^{n} b^{n}

Exemple à traiter : Simplifie :

2^{5} \times 2^{- 3}

;

\frac{7^{4}}{7^{6}}

;

(3^{- 2})^{3}

;

2^{4} \times 5^{4}

Puissances de 10

10^{n}

(

n > 0

) s’écrit 1 suivi de

n

zéros ;

10^{- n}

s’écrit

0, 0 \dots 01

avec le 1 au

n

-ième rang après la virgule.

Exemple à traiter : Écris sous forme décimale :

10^{- 3}

;

4, 2 \times 10^{5}

;

7 \times 10^{- 4}

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Erreurs fréquentes

⚠ Exposant négatif

2^{- 3}

n’est pas négatif : c’est

\frac{1}{8}

⚠ Multiplier les exposants

Pour un produit de même base, on additionne les exposants.

Exercice d’application

Écris sous la forme $2^{p} \times 3^{q}$ : $A = \frac{6^{4} \times 2^{- 2}}{9^{3}}$ .
Calcule $B = \frac{10^{- 2} \times 10^{5}}{10^{- 1}}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

a^{0} = 1

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

(a^{m})^{n} = a^{m n}