Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Calcul dans ℝ · Leçon 4

Valeur absolue d’un réel

La distance d’un nombre à zéro.

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Cours de Mathématiques : « Valeur absolue d’un réel », proposé par ndolomathndolomath

Valeur absolue

💡 Idée principale : La valeur absolue d’un réel

x

, notée

| x |

, est sa distance à zéro sur la droite graduée. Elle est toujours positive :

| x | = x

x \geq 0

| x | = - x

x < 0

. La distance entre deux réels

a

b

est

| a - b |

Ce que tu vas apprendre

Définir et calculer la valeur absolue d’un réel.
Interpréter $| a - b |$ comme une distance.
Connaître les propriétés de la valeur absolue.
Résoudre des équations simples $| x - a | = r$ .

Pourquoi cette leçon ?

Un écart de température, une erreur de mesure, la distance entre deux bornes : on s’intéresse à la taille d’un écart, peu importe son sens. C’est le rôle de la valeur absolue.

Prérequis : vérifie tes bases

Place

- 3

5

sur une droite graduée. Quelle distance les sépare ?

Donne l’opposé de

- 4, 2

Calcule

3 - 7

7 - 3

Situation problème : L’erreur de la balance

Une balance du marché de Mokolo est vérifiée avec une masse étalon de 5 kg. Elle affiche successivement 4,98 kg, 5,03 kg et 4,995 kg. Elle est acceptée si l’écart avec 5 kg ne dépasse pas 0,02 kg.
Calcule les écarts. La balance est-elle acceptée à chaque pesée ?

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Activité d’apprentissage

On étudie les écarts entre les pesées et 5 kg.

Calcule $4, 98 - 5$ , $5, 03 - 5$ et $4,995 - 5$ .
Quelles sont les distances entre chaque pesée et 5 sur une droite graduée ?
Comment passer de la différence à la distance ?
Réponds à la situation problème.

Définition

Pour tout réel

x

| x | = {\begin{cases} x & si x \geq 0 \\ - x & si x < 0 \end{cases}

| x |

est la distance de

x

à 0. Elle est toujours positive ou nulle.

Exemple à traiter : Calcule :

| - 7 |

;

| 2, 5 |

;

| 0 |

;

| 3 - π |

;

| 1 - \sqrt{2} |

R2 · Distance de deux réels

La distance entre les réels

a

b

sur la droite graduée est

| a - b | = | b - a |

Exemple à traiter : Calcule la distance entre

- 4

7

, puis entre

\sqrt{3}

2

Propriétés et équations

| - x | = | x |

;

| x y | = | x | \times | y |

;

| x |^{2} = x^{2}

;

\sqrt{x^{2}} = | x |

.
Pour

r \geq 0

| x - a | = r ⟺ x = a + r

x = a - r

Exemple à traiter : Résous :

| x | = 4

;

| x - 3 | = 2

;

| x + 1 | = 0

Erreurs fréquentes

⚠ Valeur absolue négative

⚠ Enlever le signe moins

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Exercice d’application

Écris sans valeur absolue : $| \sqrt{5} - 2 |$ ; $| 2 - \sqrt{5} |$ .
Résous : $| 2 x - 1 | = 5$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

| x |

= distance de

x

à 0, toujours positive.

| a - b |

= distance entre

a

b

| x - a | = r

⟺

x = a \pm r