Cours
MATHÉMATIQUES · 2nde A
Chapitre : Calcul dans ℝ · Leçon 3

Comparaison et encadrement des réels

Comparer, ranger et encadrer des nombres réels.
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Cours de Mathématiques : « Comparaison et encadrement des réels », proposé par ndolomathndolomath
Ordre et encadrement
💡 Idée principale : Pour comparer deux réels, on étudie le signe de leur différence. Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On encadre un réel entre deux décimaux pour en donner une valeur approchée.
Ce que tu vas apprendre
  1. Comparer deux réels par le signe de leur différence.
  2. Utiliser la propriété des carrés pour comparer des positifs.
  3. Ranger des réels dans l’ordre croissant ou décroissant.
  4. Encadrer un réel et opérer sur les encadrements.
Pourquoi cette leçon ?
Pour choisir le meilleur prix, le chemin le plus court ou la parcelle la plus grande, on compare des nombres. Quand ces nombres contiennent des racines ou des fractions, il faut des méthodes sûres.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Compare 35 et 47.
2
Calcule (23)2 et (32)2.
3
Si a<b, compare −a et −b.
Situation problème : Les deux parcelles

Deux parcelles carrées sont mises en vente : l’une a un côté de 23 dam, l’autre de 32 dam. Un acheteur veut la plus grande, mais il n’a pas de calculatrice.
Laquelle choisir ? Donne ensuite un encadrement de chaque côté au dixième près.

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Activité d’apprentissage

On compare 23 et 32.

  1. Ces deux nombres sont-ils positifs ?
  2. Calcule leurs carrés et compare-les.
  3. Conclus sur l’ordre de 23 et 32.
  4. Encadre 3 et 2 au centième, puis déduis-en des encadrements des deux côtés.
R1
Comparer par la différence
a<b équivaut à a−b<0. Pour comparer deux réels, on étudie le signe de leur différence.
Exemple à traiter : Compare 79 et 1114 en calculant leur différence.
R2 · Carrés et ordre
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : si a≥0 et b≥0, a<b⟺a2<b2.
Ordre croissant : du plus petit au plus grand ; décroissant : du plus grand au plus petit.
Exemple à traiter : Range dans l’ordre croissant : 42 ; 33 ; 27 ; 5.
R3
Encadrement
Encadrer x, c’est trouver a et b tels que a≤x≤b ; b−a est l’amplitude. On peut additionner des encadrements membre à membre, et multiplier des encadrements de nombres positifs.
Exemple à traiter : Sachant que 1,41≤2≤1,42, encadre 32 et 5−2.
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Erreurs fréquentes
⚠ Carrés de négatifs
Pour des négatifs, l’ordre des carrés est inversé : −3<−2 mais 9>4.
⚠ Soustraire des encadrements
Pour 5−2, on encadre −2 en inversant l’ordre, puis on ajoute 5.
Exercice d’application
  1. Compare 5+1 et 3 sans calculatrice.
  2. Range dans l’ordre décroissant : 32 ; 0,8 ; 56.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
On compare deux réels par le signe de leur différence. Deux positifs sont dans le même ordre que leurs carrés. Un encadrement donne des valeurs approchées.
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Préparation du PDF…