Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Calcul dans ℝ · Leçon 2

Opérations dans ℝ : racines carrées

Multiplier, diviser et simplifier des radicaux.

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Cours de Mathématiques : « Opérations dans ℝ : racines carrées », proposé par ndolomathndolomath

Calculs avec racines carrées

💡 Idée principale : Pour

a \geq 0

b \geq 0

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a b}

et, si

b > 0

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

. En revanche, la racine d’une somme n’est pas la somme des racines. On simplifie un radical en faisant apparaître un carré parfait.

Ce que tu vas apprendre

Appliquer les règles de multiplication et de division des racines carrées.
Simplifier une racine carrée.
Additionner des radicaux semblables.
Écrire un quotient sans radical au dénominateur.

Pourquoi cette leçon ?

Les longueurs obtenues par le théorème de Pythagore s’écrivent souvent avec des racines. Les simplifier permet de les comparer, de les additionner et d’éviter les erreurs d’arrondi.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\sqrt{36}

\sqrt{0, 25}

(\sqrt{7})^{2}

Décompose 72 en produit d’un carré parfait et d’un entier.

Réduis

3 x + 5 x - 2 x

Situation problème : La clôture du jardin

Un jardin a la forme d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 m et 6 m. Le jardinier calcule le troisième côté et trouve $\sqrt{45}$ m. Il veut clôturer les trois côtés.
Comment écrire simplement la longueur $\sqrt{45}$ ? Quelle est la longueur totale de clôture, en valeur exacte puis arrondie au cm ?

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Activité d’apprentissage

On compare des calculs avec les racines.

Calcule $\sqrt{4} \times \sqrt{9}$ et $\sqrt{36}$ . Compare.
Calcule $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ et $\sqrt{25}$ . Compare.
Écris $45 = 9 \times 5$ et déduis-en une écriture simplifiée de $\sqrt{45}$ .
Réponds à la situation problème.

Produit et quotient

Pour

a \geq 0

b \geq 0

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a b}

. Pour

a \geq 0

b > 0

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

.
Attention : en général

\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}

Exemple à traiter : Calcule :

\sqrt{3} \times \sqrt{27}

;

\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}

;

\sqrt{\frac{16}{81}}

R2 · Simplifier et additionner

On écrit le nombre sous la racine comme produit d’un carré parfait (le plus grand possible) et d’un entier :

\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6 \sqrt{2}

. On additionne ensuite les radicaux semblables :

a \sqrt{c} + b \sqrt{c} = (a + b) \sqrt{c}

Exemple à traiter : Simplifie et réduis :

A = \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{75}

Dénominateur sans radical

\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{b}

; et avec le conjugué :

\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}

Exemple à traiter : Écris sans radical au dénominateur :

\frac{5}{\sqrt{5}}

;

\frac{2}{\sqrt{3} - 1}

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Erreurs fréquentes

⚠ Racine d’une somme

\sqrt{9 + 16} = 5

mais

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7

⚠ Radicaux non semblables

\sqrt{2} + \sqrt{3}

ne se simplifie pas.

Exercice d’application

Simplifie : $\sqrt{98}$ ; $\sqrt{200}$ ; $3 \sqrt{20} - \sqrt{45}$ .
Développe et réduis : $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ et $(1 + \sqrt{2})^{2}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b}

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

, mais

\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}

. On simplifie avec le plus grand carré parfait.