Cours

MATHÉMATIQUES · 2nde A

Chapitre : Calcul dans ℝ · Leçon 1

ℝ et ses sous-ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ

Ranger chaque nombre dans la bonne famille.

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Cours de Mathématiques : « ℝ et ses sous-ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ », proposé par ndolomathndolomath

Ensembles de nombres

💡 Idée principale : Les nombres se classent en familles emboîtées : entiers naturels

N

, entiers relatifs

Z

, décimaux

D

, rationnels

Q

et réels

R

. Chaque ensemble contient le précédent.

Ce que tu vas apprendre

Connaître les ensembles $N$ , $Z$ , $D$ , $Q$ , $R$ .
Utiliser les symboles $\in$ , $\notin$ , $\subset$ .
Reconnaître un décimal, un rationnel, un irrationnel.

Pourquoi cette leçon ?

Dans un tableau de prix, une recette ou une mesure de terrain, on rencontre des nombres de natures différentes. Savoir à quelle famille appartient un nombre permet de savoir comment l’écrire exactement et comment calculer avec lui.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris

\frac{3}{4}

\frac{1}{3}

sous forme décimale.

Calcule

\sqrt{49}

et donne une valeur approchée de

\sqrt{2}

Donne un nombre entier négatif.

Situation problème : Le tableau du commerçant

Un commerçant de Bafang note dans son cahier : la quantité de sacs vendus (37), la variation de son stock ( $- 5$ ), le prix d’un kilo (812,5 F), la part de la recette reversée à son associé ( $\frac{1}{3}$ ) et la diagonale de son entrepôt carré de 10 m de côté ( $10 \sqrt{2}$ m).
Quels nombres peut-il écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule ?

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Activité d’apprentissage

On classe les nombres du commerçant.

Lesquels sont des entiers positifs ? des entiers positifs ou négatifs ?
Lesquels ont une écriture décimale qui s’arrête ?
Lesquels peuvent s’écrire sous forme de fraction d’entiers ?
Que dire de $10 \sqrt{2}$ ? Réponds à la situation.

Les ensembles

•

N

: entiers naturels

0, 1, 2, \dots

•

Z

: entiers relatifs

\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots

•

D

: décimaux, de la forme

\frac{a}{10^{n}}

avec

a \in Z

.
•

Q

: rationnels, de la forme

\frac{a}{b}

avec

a \in Z

b \in Z^{*}

.
•

R

: réels (tous les nombres de la droite graduée).

Exemple à traiter : Donne le plus petit ensemble contenant chacun des nombres :

- 7

;

2, 35

;

\frac{5}{6}

;

\sqrt{16}

;

π

R2 · Inclusions

N \subset Z \subset D \subset Q \subset R

Un réel qui n’est pas rationnel est irrationnel :

\sqrt{2}

\sqrt{3}

π

…

Exemple à traiter : Vrai ou faux :

Z \subset N

;

\frac{1}{3} \in D

;

- \sqrt{9} \in Z

Reconnaître un décimal

Une fraction irréductible est un décimal si et seulement si son dénominateur n’a que 2 et 5 comme facteurs premiers.

Exemple à traiter :

\frac{7}{40}

\frac{7}{30}

\frac{21}{56}

sont-ils des décimaux ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Écriture affichée

La calculatrice affiche une valeur approchée de

\frac{1}{3}

: ce nombre n’est pas décimal.

⚠ Racine toujours irrationnelle

\sqrt{25} = 5

est un entier.

Exercice d’application

Complète par $\in$ ou $\notin$ : $0 \dots N$ ; $- \frac{12}{3} \dots Z$ ; $\sqrt{5} \dots Q$ ; $1, 5 \dots D$ .
Classe dans un tableau : $4$ ; $- 0, 25$ ; $\frac{2}{7}$ ; $\sqrt{8}$ ; $- 3$ ; $\frac{9}{3}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

N \subset Z \subset D \subset Q \subset R

. Les réels non rationnels sont irrationnels.