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MATHÉMATIQUES · 1re TI

Chapitre : Espaces vectoriels sur IR · Leçon 3

Familles libres, familles liées, familles génératrices

Indépendance linéaire, génération et bases.

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Cours de Mathématiques : « Familles libres, familles liées, familles génératrices », proposé par ndolomathndolomath

Familles de vecteurs

💡 Idée principale : Une famille de vecteurs est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls ; sinon elle est liée (un vecteur est combinaison des autres). Elle est génératrice si tout vecteur de l’espace en est une combinaison linéaire. Une famille libre et génératrice est une base.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une combinaison linéaire.
Démontrer qu’une famille est libre ou liée.
Démontrer qu’une famille est génératrice.
Reconnaître une base et déterminer les coordonnées d’un vecteur.

Pourquoi cette leçon ?

En informatique graphique, toutes les couleurs s’obtiennent en mélangeant trois couleurs de base : rouge, vert, bleu. Peut-on se passer de l’une d’elles ? Une couleur supplémentaire serait-elle utile ? Ces questions sont celles de la liberté et de la génération.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous le système

a + 2 b = 0

3 a + 6 b = 0

Résous le système

a + b = 0

a - b = 0

Rappelle la définition d’un sous-espace vectoriel.

Situation problème : Les mélanges de couleurs

Dans un logiciel, une couleur est un vecteur (rouge ; vert ; bleu) de $R^{3}$ . Un graphiste dispose de trois teintes : $\vec{u} = (1; 1; 0)$ , $\vec{v} = (0; 1; 1)$ et $\vec{w} = (1; 2; 1)$ .
Peut-il obtenir toutes les couleurs par mélange de ces trois teintes ? L’une d’elles est-elle inutile ?

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Activité d’apprentissage

On cherche les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$ .

Écris le système correspondant et résous-le.
Exprime $\vec{w}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
La couleur $(1; 0; 0)$ peut-elle s’obtenir avec $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ ?
Réponds à la situation problème.

Familles libres et liées

(\vec{u_{1}}, \dots, \vec{u_{p}})

est libre si

λ_{1} \vec{u_{1}} + \dots + λ_{p} \vec{u_{p}} = \vec{0} \Rightarrow λ_{1} = \dots = λ_{p} = 0

. Sinon elle est liée : au moins un vecteur est combinaison linéaire des autres. Une famille contenant

\vec{0}

ou deux vecteurs colinéaires est liée.

Exemple à traiter : Les familles

((1; 2), (2; 4))

((1; 0; 1), (1; 1; 0), (0; 1; 1))

sont-elles libres ?

R2 · Familles génératrices

(\vec{u_{1}}, \dots, \vec{u_{p}})

est génératrice de

E

si tout vecteur de

E

est combinaison linéaire des

\vec{u_{i}}

. On le montre en résolvant le système

λ_{1} \vec{u_{1}} + \dots + λ_{p} \vec{u_{p}} = \vec{x}

pour un vecteur

\vec{x}

quelconque.

Exemple à traiter : Montre que

((1; 1), (1; - 1), (2; 3))

est génératrice de

R^{2}

. Est-elle libre ?

Bases et coordonnées

Une base est une famille libre et génératrice : chaque vecteur s’écrit de manière unique comme combinaison des vecteurs de la base ; les coefficients sont ses coordonnées. Dans un espace de dimension

n

, toute famille libre de

n

vecteurs est une base, et toute famille de plus de

n

vecteurs est liée.

Exemple à traiter : Montre que

((1; 0; 1), (1; 1; 0), (0; 1; 1))

est une base de

R^{3}

et calcule les coordonnées de

(2; 3; 1)

dans cette base.

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Erreurs fréquentes

⚠ Libre ⇒ génératrice

Une famille libre n’engendre pas forcément tout l’espace.

⚠ Trop de vecteurs

Dans

R^{2}

, trois vecteurs forment toujours une famille liée.

Exercice d’application

Détermine $m$ pour que $((1; m; 1), (m; 1; 1), (1; 1; m))$ soit liée.
Dans l’espace des polynômes de degré au plus 2, montre que $(1, X - 1, (X - 1)^{2})$ est une base et écris $X^{2}$ dans cette base.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Libre : seule la combinaison nulle donne

\vec{0}

. Génératrice : tout vecteur est combinaison. Base = libre + génératrice ; en dimension

n

n

vecteurs libres forment une base.