Cours

MATHÉMATIQUES · 1re TI

Chapitre : Espaces vectoriels sur IR · Leçon 1

Lois de composition interne

Opérations sur un ensemble et leurs propriétés.

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Cours de Mathématiques : « Lois de composition interne », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Une loi de composition interne sur un ensemble

E

associe à deux éléments de

E

un élément de

E

. Elle peut être commutative, associative, posséder un élément neutre, et certains éléments peuvent avoir un symétrique. Ces propriétés définissent la structure de groupe.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une loi de composition interne.
Étudier la commutativité, l’associativité, l’existence d’un élément neutre et de symétriques.
Reconnaître un groupe et un groupe commutatif.

Pourquoi cette leçon ?

L’addition des entiers, la multiplication des réels, la composition des transformations ou l’opération « ou exclusif » en informatique partagent des propriétés communes. Les étudier une fois pour toutes permet de les utiliser partout.

Prérequis : vérifie tes bases

La soustraction est-elle commutative dans

Z

Quel est l’élément neutre de la multiplication dans

R

Quel est l’inverse de

\frac{2}{3}

Situation problème : La loi étrange

Dans un club de logique, on définit sur $R$ l’opération $x * y = x + y + x y$ .
Le résultat est-il toujours un réel ? L’ordre des nombres compte-t-il ? Existe-t-il un réel qui ne change rien quand on l’opère avec un autre ? Tous les réels ont-ils un « opposé » pour cette loi ?

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Activité d’apprentissage

On étudie la loi $*$ sur $R$ .

Calcule $2 * 3$ , $3 * 2$ , $(1 * 2) * 3$ et $1 * (2 * 3)$ .
Cherche $e$ tel que $x * e = x$ pour tout $x$ .
Pour $x$ donné, cherche $x^{'}$ tel que $x * x^{'} = e$ . Pour quelle valeur de $x$ est-ce impossible ?
Réponds à la situation problème.

Loi de composition interne

Une loi

*

sur

E

est interne si pour tous

x, y \in E

x * y \in E

. Elle est commutative si

x * y = y * x

, associative si

(x * y) * z = x * (y * z)

pour tous

x, y, z

Exemple à traiter : La loi

x * y = \frac{x + y}{2}

est-elle interne dans

Z

? dans

Q

? Est-elle associative ?

R2 · Élément neutre et symétrique

e

est élément neutre si

x * e = e * x = x

pour tout

x

. Si

e

existe,

x^{'}

est le symétrique de

x

x * x^{'} = x^{'} * x = e

. L’élément neutre est unique ; si la loi est associative, le symétrique est unique.

Exemple à traiter : Sur

R

, on pose

x ⊤ y = x + y - 3

. Détermine l’élément neutre et le symétrique de tout réel.

Groupe

(E, *)

est un groupe si

*

est interne, associative, possède un élément neutre et si tout élément a un symétrique. Le groupe est commutatif (abélien) si de plus

*

est commutative.

Exemple à traiter : Montre que

(R ∖ {- 1}, *)

, avec

x * y = x + y + x y

, est un groupe commutatif.

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Erreurs fréquentes

⚠ Loi non interne

On vérifie d’abord que le résultat reste dans l’ensemble.

⚠ Neutre à droite seulement

Si la loi n’est pas commutative, on vérifie

x * e

e * x

Exercice d’application

Dresse la table de la loi « reste de la somme dans la division par 4 » sur ${0, 1, 2, 3}$ . Est-ce un groupe ?
Sur $R^{2}$ , on pose $(a, b) * (c, d) = (a + c, b + d + 2)$ . Étudie ses propriétés.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Interne : résultat dans

E

. Groupe : associative + neutre + symétriques. Commutatif si

x * y = y * x