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MATHÉMATIQUES · 1re TI

Chapitre : Équations, inéquations Systèmes · Leçon 2

Équations et inéquations irrationnelles

Des racines carrées qui imposent des conditions.

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Cours de Mathématiques : « Équations et inéquations irrationnelles », proposé par ndolomathndolomath

Équations irrationnelles

💡 Idée principale : Une équation irrationnelle contient l’inconnue sous une racine carrée. On l’élève au carré, mais cela peut ajouter de fausses solutions : il faut écrire les conditions (radicande positif, membre égal à la racine positif) et vérifier.

Ce que tu vas apprendre

Écrire les conditions d’existence d’une équation irrationnelle.
Résoudre $\sqrt{A (x)} = B (x)$ .
Résoudre $\sqrt{A (x)} \leq B (x)$ et $\sqrt{A (x)} \geq B (x)$ .

Pourquoi cette leçon ?

La longueur d’une diagonale, la distance entre deux points ou la vitesse d’un objet en chute s’expriment avec des racines. Résoudre des équations avec racines permet de retrouver une dimension inconnue.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Pour quelles valeurs

\sqrt{2 x - 4}

existe-t-il ?

Calcule

(\sqrt{x + 3})^{2}

Situation problème : Le câble de l’antenne

Une antenne verticale de hauteur $x$ m est fixée au sol par un câble attaché à 6 m de son pied. Le câble mesure 2 m de plus que l’antenne.
En écrivant $\sqrt{x^{2} + 36} = x + 2$ , trouve la hauteur de l’antenne.

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Activité d’apprentissage

On résout $\sqrt{x^{2} + 36} = x + 2$ .

Quelles conditions doit vérifier x pour que l’équation ait un sens ?
Élève les deux membres au carré et résous.
Vérifie la solution dans l’équation de départ.
Réponds à la situation problème.

Équation (sqrt{A} = B)

\sqrt{A (x)} = B (x) ⟺ {\begin{cases} B (x) \geq 0 \\ A (x) = B (x)^{2} \end{cases}

La condition

A (x) \geq 0

est alors automatiquement vérifiée.

Exemple à traiter : Résous

\sqrt{2 x + 3} = x

\sqrt{x + 5} = x - 1

R2 · Inéquation (sqrt{A} leq B)

\sqrt{A (x)} \leq B (x) ⟺ {\begin{cases} A (x) \geq 0 \\ B (x) \geq 0 \\ A (x) \leq B (x)^{2} \end{cases}

Exemple à traiter : Résous

\sqrt{x + 2} \leq x

Inéquation (sqrt{A} geq B)

On distingue deux cas : si

B (x) < 0

, il suffit que

A (x) \geq 0

; si

B (x) \geq 0

, on résout

A (x) \geq B (x)^{2}

Exemple à traiter : Résous

\sqrt{3 - x} > x - 1

Erreurs fréquentes

⚠ Solutions parasites

Élever au carré peut ajouter des solutions : on vérifie toujours.

⚠ Oublier un cas

Pour √A ≥ B, il faut traiter le cas B < 0.

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Exercice d’application

Résous $\sqrt{x^{2} - 3 x} = x - 1$ .
Résous $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 4} = 5$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\sqrt{A} = B ⟺ B \geq 0

A = B^{2}

. Pour les inéquations, conditions d’existence et étude de cas selon le signe de

B