Cours

MATHÉMATIQUES · 1re TI

Chapitre : Dérivation · Leçon 2

Utilisation de la fonction dérivée

Variations, extremums, inégalités et optimisation.

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Cours de Mathématiques : « Utilisation de la fonction dérivée », proposé par ndolomathndolomath

Utilisation de la dérivée

💡 Idée principale : Le signe de la dérivée donne le sens de variation :

f^{'} > 0

sur un intervalle ⇒

f

strictement croissante ;

f^{'} < 0

⇒ strictement décroissante. Si

f^{'}

s’annule en changeant de signe,

f

admet un extremum local. On en déduit des inégalités et la solution de problèmes d’optimisation.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer le sens de variation d’une fonction à partir du signe de sa dérivée.
Dresser un tableau de variation complet.
Déterminer les extremums d’une fonction.
Résoudre des problèmes d’optimisation et démontrer des inégalités.

Pourquoi cette leçon ?

Quelles dimensions donner à une boîte pour utiliser le moins de carton possible ? Quel prix de vente maximise le bénéfice ? La dérivée répond à ces questions d’optimisation.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

f (x) = x^{3} - 12 x + 1

Étudie le signe de

3 x^{2} - 12

Calcule le volume d’un pavé de dimensions

a

b

c

Situation problème : La boîte de l’artisan

Un artisan dispose de plaques de carton carrées de 30 cm de côté. Il découpe un carré de côté $x$ cm à chaque coin, puis relève les bords pour obtenir une boîte sans couvercle.
Quelle valeur de $x$ donne la boîte de volume maximal ? Quel est ce volume ?

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Activité d’apprentissage

On note $V (x)$ le volume de la boîte.

Dans quel intervalle $x$ peut-il varier ?
Montre que $V (x) = x (30 - 2 x)^{2}$ .
Calcule $V^{'} (x)$ et étudie son signe. Dresse le tableau de variation de $V$ .
Réponds à la situation problème.

Signe de la dérivée et variations

Soit

f

dérivable sur un intervalle

I

. Si

f^{'} > 0

sur

I

(sauf en des points isolés où elle s’annule),

f

est strictement croissante sur

I

; si

f^{'} < 0

, strictement décroissante ; si

f^{'} = 0

, constante.

Exemple à traiter : Étudie les variations de

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2

sur

R

et dresse son tableau de variation avec les limites.

R2 · Extremums

f^{'}

s’annule en

a

en changeant de signe,

f (a)

est un extremum local : un maximum si

f^{'}

passe de

+

-

, un minimum si

f^{'}

passe de

-

+

Exemple à traiter : Détermine les extremums de

g (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}

sur

] 0; + \infty [

Inégalités et optimisation

Pour montrer que

f (x) \geq g (x)

sur

I

, on étudie les variations de

d = f - g

et on montre que son minimum est positif. Pour un problème d’optimisation : choisir la variable, exprimer la grandeur, étudier ses variations, conclure.

Exemple à traiter : Montre que pour tout

x \geq 0

\sin x \leq x

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Erreurs fréquentes

⚠ Dérivée nulle sans extremum

x^{3}

a une dérivée nulle en 0 sans extremum : il faut un changement de signe.

⚠ Intervalle d’étude

On vérifie que la solution trouvée appartient à l’intervalle autorisé.

Exercice d’application

Parmi les rectangles de périmètre 40 m, lequel a l’aire maximale ?
Montre que pour tout $x > 0$ : $x + \frac{1}{x} \geq 2$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

f^{'} > 0

: croissante ;

f^{'} < 0

: décroissante.

f^{'}

s’annule en changeant de signe : extremum. Optimisation : variable, expression, variations, conclusion.