Cours
MATHÉMATIQUES · 1re TI
Chapitre : Continuité et Limites d’une fonction · Leçon 2

Continuité

Fonctions continues et théorème des valeurs intermédiaires.
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Cours de Mathématiques : « Continuité », proposé par ndolomathndolomath
Continuité
💡 Idée principale : Une fonction est continue en a si limx→af(x)=f(a) : sa courbe se trace sans lever le crayon. Les fonctions usuelles sont continues sur leurs ensembles de définition. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence de solutions d’équations.
Ce que tu vas apprendre
  1. Étudier la continuité d’une fonction en un point, à gauche, à droite.
  2. Reconnaître une fonction continue sur un intervalle ; prolonger par continuité.
  3. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire pour les fonctions strictement monotones.
Pourquoi cette leçon ?
La température d’un malade varie sans saut ; s’il passe de 36 °C à 39 °C, il a forcément eu 38 °C à un moment. Cette idée intuitive est le théorème des valeurs intermédiaires, qui permet de prouver qu’une équation a une solution sans savoir la calculer.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule limx→1x2−1x−1.
2
Calcule f(0) et f(1) pour f(x)=x3+x−1.
3
Donne le sens de variation de x↦x3+x.
Situation problème : La facture d’électricité

Une compagnie d’électricité facture 80 F le kWh jusqu’à 110 kWh, puis 100 F le kWh pour toute la consommation au-delà, avec un abonnement de 2 000 F. Un client estime que la facture « fait un saut » au passage des 110 kWh.
A-t-il raison ? Peut-on aussi trouver une consommation donnant une facture exactement de 15 000 F ?

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Activité d’apprentissage

On note F(x) la facture pour x kWh.

  1. Exprime F(x) pour 0≤x≤110, puis pour x>110.
  2. Calcule la limite de F à gauche et à droite en 110. Compare avec F(110).
  3. Calcule F(110) et F(200). Que peut-on dire de l’équation F(x)=15000 ?
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Continuité en un point
f est continue en a si limx→af(x)=f(a) ; continue à gauche (resp. à droite) si la limite à gauche (resp. à droite) vaut f(a). f est continue en a si et seulement si elle l’est à gauche et à droite.
Exemple à traiter : Étudie la continuité en 1 de f définie par f(x)=x2+1 si x≤1 et f(x)=3x−1 si x>1.
R2 · Fonctions continues et prolongement
Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, sinus, cosinus sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition, ainsi que les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues. Si f n’est pas définie en a mais limx→af(x)=ℓ, on prolonge f par continuité en posant f(a)=ℓ.
Exemple à traiter : Montre que f(x)=x2−4x−2 se prolonge par continuité en 2.
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R3
Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur [a;b], tout réel k compris entre f(a) et f(b) admet au moins un antécédent dans [a;b]. Si de plus f est strictement monotone, cet antécédent est unique.
Exemple à traiter : Montre que l’équation x3+x−1=0 admet une unique solution α dans [0;1] et donne un encadrement de α d’amplitude 10−1.
Erreurs fréquentes
⚠ Hypothèse de continuité
Sans continuité sur tout l’intervalle, le théorème ne s’applique pas.
⚠ Unicité
L’unicité demande la stricte monotonie.
Exercice d’application
  1. Détermine le réel m pour que f(x)=mx+2 si x<1 et f(x)=x2+3 si x≥1 soit continue en 1.
  2. Montre que l’équation cos⁡x=x a une solution dans [0;π2].
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Continue en a : limaf=f(a). Continue + changement de signe sur [a;b] ⇒ une solution ; strictement monotone ⇒ solution unique.
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Préparation du PDF…