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MATHÉMATIQUES · 1re TI

Chapitre : Barycentres · Leçon 1

Barycentre

Le point d’équilibre de points pondérés.

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Cours de Mathématiques : « Barycentre », proposé par ndolomathndolomath

Barycentre

💡 Idée principale : Le barycentre de points pondérés

(A_{i}, α_{i})

, avec

\sum α_{i} \neq 0

, est l’unique point

G

tel que

\sum α_{i} \vec{G A_{i}} = \vec{0}

. Il généralise le milieu et le centre de gravité, et se calcule par associativité et avec les coordonnées.

Ce que tu vas apprendre

Définir et construire le barycentre de deux, trois ou quatre points pondérés.
Utiliser la relation $\sum α_{i} \vec{M A_{i}} = (\sum α_{i}) \vec{M G}$ .
Utiliser l’associativité du barycentre.
Calculer les coordonnées d’un barycentre.

Pourquoi cette leçon ?

Où suspendre une barre portant deux charges différentes pour qu’elle reste horizontale ? Où placer un dépôt pour desservir plusieurs villages de tailles différentes ? Le barycentre donne le point d’équilibre.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis

M

tel que

\vec{A M} = \frac{2}{5} \vec{A B}

Écris la relation vectorielle du milieu

I

[A B]

Calcule les coordonnées du centre de gravité de

A (1; 2)

B (4; 0)

C (1; 5)

Situation problème : La barre du porteur

Un porteur transporte sur l’épaule une barre de 1,5 m. À une extrémité $A$ pend un sac de 30 kg, à l’autre $B$ un sac de 20 kg.
Où doit-il placer son épaule pour que la barre reste en équilibre ?

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Activité d’apprentissage

On cherche $G$ sur $[A B]$ tel que $30 \vec{G A} + 20 \vec{G B} = \vec{0}$ .

Exprime $\vec{G B}$ en fonction de $\vec{G A}$ et $\vec{A B}$ .
Déduis-en $\vec{A G}$ en fonction de $\vec{A B}$ .
Calcule $A G$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

α + β \neq 0

, il existe un unique point

G

tel que

α \vec{G A} + β \vec{G B} = \vec{0}

; on a

\vec{A G} = \frac{β}{α + β} \vec{A B}

. De même pour

n

points si

\sum α_{i} \neq 0

Exemple à traiter : Construis le barycentre de

(A, 2)

(B, - 1)

, puis de

(A, 1)

(B, 1)

(C, 2)

R2 · Propriété fondamentale et coordonnées

Pour tout point

M

\sum α_{i} \vec{M A_{i}} = (\sum α_{i}) \vec{M G}

. Dans un repère :

x_{G} = \frac{\sum α_{i} x_{i}}{\sum α_{i}}

y_{G} = \frac{\sum α_{i} y_{i}}{\sum α_{i}}

Exemple à traiter : Calcule les coordonnées du barycentre de

(A (1; 2), 3)

(B (- 2; 0), 1)

(C (0; 4), 2)

Associativité

On peut remplacer des points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients (si elle est non nulle).

Exemple à traiter :

A B C

est un triangle,

G

barycentre de

(A, 1)

(B, 2)

(C, 3)

. Construis

G

en utilisant un barycentre partiel.

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Erreurs fréquentes

⚠ Somme nulle

Si la somme des coefficients est nulle, le barycentre n’existe pas.

⚠ Mauvais sens

G est plus proche du point de plus grand coefficient (positif).

Exercice d’application

Démontre que les médianes d’un triangle sont concourantes à l’aide de l’associativité.
Réduis $2 \vec{M A} - \vec{M B} + \vec{M C}$ pour tout point $M$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

G

barycentre de

(A_{i}, α_{i})

\sum α_{i} \vec{G A_{i}} = \vec{0}

\sum α_{i} \vec{M A_{i}} = (\sum α_{i}) \vec{M G}

. Coordonnées : moyennes pondérées.