Cours

MATHÉMATIQUES · 1re TI

Chapitre : Arithmétiques · Leçon 2

Numération de base a

Écrire et convertir des nombres dans différentes bases.

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Cours de Mathématiques : « Numération de base a », proposé par ndolomathndolomath

Numération en base a

💡 Idée principale : Tout entier naturel s’écrit de manière unique en base

a

(

a \geq 2

) :

N = c_{n} a^{n} + \dots + c_{1} a + c_{0}

avec

0 \leq c_{i} < a

. Les ordinateurs utilisent la base 2 (binaire) et la base 16 (hexadécimale). On passe d’une base à l’autre par divisions successives.

Ce que tu vas apprendre

Écrire un entier en base 10 à partir de son écriture en base $a$ .
Écrire un entier de la base 10 dans une base $a$ par divisions successives.
Passer de la base 2 à la base 16 et inversement ; effectuer des additions en base 2.

Pourquoi cette leçon ?

Dans un ordinateur, tout est codé avec des 0 et des 1 ; les couleurs d’un site web sont codées en hexadécimal comme #FF8800. Comprendre les bases de numération est indispensable en informatique.

Prérequis : vérifie tes bases

Décompose 4 507 en puissances de 10.

Calcule

2^{0}, 2^{1}, \dots, 2^{8}

Effectue la division euclidienne de 45 par 2.

Situation problème : Le code de la couleur

Un élève de TI crée un site web. La couleur orange y est codée #FF8800 : les deux premiers symboles donnent l’intensité du rouge, puis du vert, puis du bleu, en base 16 (A = 10, …, F = 15).
Quelle est l’intensité du rouge en base 10 ? Comment l’ordinateur l’écrit-il en binaire ?

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Activité d’apprentissage

On étudie l’écriture hexadécimale FF.

Écris FF sous la forme $c_{1} \times 16 + c_{0}$ et calcule sa valeur en base 10.
Écris ce nombre en base 2 par divisions successives par 2.
Écris $88_{16}$ en base 10 puis en base 2. Quel lien vois-tu entre chaque chiffre hexadécimal et 4 chiffres binaires ?
Réponds à la situation problème.

Écriture en base a

Pour

a \geq 2

, tout entier

N

s’écrit de manière unique

N = c_{n} a^{n} + c_{n - 1} a^{n - 1} + \dots + c_{1} a + c_{0}

avec

0 \leq c_{i} \leq a - 1

c_{n} \neq 0

. On note

N = {\overset{―}{c_{n} c_{n - 1} \dots c_{0}}}^{a}

Exemple à traiter : Écris en base 10 les nombres

{\overset{―}{101101}}^{2}

{\overset{―}{2012}}^{3}

{\overset{―}{3 A 7}}^{16}

R2 · Conversion par divisions successives

Pour écrire

N

en base

a

, on divise

N

par

a

, puis le quotient par

a

, et ainsi de suite jusqu’à un quotient nul ; les restes lus du dernier au premier sont les chiffres de

N

en base

a

Exemple à traiter : Écris 2 026 en base 2, en base 5 et en base 16.

Bases 2 et 16 ; calculs en base 2

Comme

16 = 2^{4}

, chaque chiffre hexadécimal correspond à un bloc de 4 chiffres binaires. En base 2 :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

(on retient 1).

Exemple à traiter : Convertis

{\overset{―}{1101 0111}}^{2}

en base 16. Calcule

{\overset{―}{1011}}^{2} + {\overset{―}{111}}^{2}

en base 2 et vérifie en base 10.

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Erreurs fréquentes

⚠ Chiffres interdits

En base

a

, aucun chiffre ne peut dépasser

a - 1

⚠ Ordre des restes

On lit les restes du dernier obtenu au premier.

Exercice d’application

Détermine la base $a$ dans laquelle ${\overset{―}{231}}^{a} = 66$ .
Combien de nombres peut-on coder avec 8 chiffres binaires (un octet) ? Quel est le plus grand ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

N = \sum c_{i} a^{i}

0 \leq c_{i} < a

. Base 10 → base

a

: divisions successives, restes lus à l’envers. 1 chiffre hexadécimal = 4 bits.