Cours

MATHÉMATIQUES · 1re TI

Chapitre : Arithmétiques · Leçon 1

Division euclidienne dans IN

Diviseurs, multiples et division euclidienne.

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Cours de Mathématiques : « Division euclidienne dans IN », proposé par ndolomathndolomath

Division euclidienne

💡 Idée principale : Pour tout entier naturel

a

et tout entier

b \geq 1

, il existe un unique couple

(q, r)

d’entiers naturels tel que

a = b q + r

0 \leq r < b

. Cette division euclidienne sert à étudier la divisibilité, les restes et les problèmes de partage.

Ce que tu vas apprendre

Connaître la notion de diviseur et de multiple, les propriétés de la divisibilité.
Effectuer une division euclidienne et justifier l’unicité du quotient et du reste.
Déterminer les restes possibles et les utiliser pour démontrer des propriétés.

Pourquoi cette leçon ?

Ranger 1 000 œufs dans des plateaux de 30, répartir des élèves en groupes, savoir quel jour de la semaine tombera dans 100 jours : la division euclidienne est l’outil de base de ces calculs.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne tous les diviseurs de 36.

Effectue la division posée de 247 par 12.

Le nombre 2 345 est-il divisible par 3 ? par 5 ?

Situation problème : Le calendrier

Le 1er janvier d’une année tombe un mercredi. Mamadou veut savoir quel jour tombera son anniversaire, le 256e jour de l’année, et s’il existe une formule pour connaître le jour de n’importe quel jour de l’année.

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Activité d’apprentissage

On numérote les jours de l’année de 1 à 365.

Combien de semaines complètes y a-t-il entre le jour 1 et le jour 256 ? Combien de jours restent ?
Écris 255 sous la forme $7 q + r$ avec $0 \leq r < 7$ .
Quel lien y a-t-il entre $r$ et le jour de la semaine ?
Réponds à la situation problème.

Divisibilité

b

divise

a

(

b ∣ a

) s’il existe un entier

k

tel que

a = k b

. Si

c ∣ a

c ∣ b

, alors

c

divise toute combinaison

u a + v b

(

u

v

entiers). Si

a ∣ b

b ∣ c

, alors

a ∣ c

Exemple à traiter : Détermine les entiers naturels

n

tels que

n + 1

divise

n + 7

R2 · Division euclidienne

Pour

a \in N

b \in N^{*}

, il existe un unique couple

(q, r)

d’entiers naturels tel que

a = b q + r

0 \leq r < b

q

est le quotient,

r

le reste ;

b ∣ a

si et seulement si

r = 0

Exemple à traiter : Effectue la division euclidienne de 2 027 par 17 et de 17 par 2 027.

Utilisation des restes

Dans la division par

b

, tout entier s’écrit

b q

b q + 1

, …,

b q + (b - 1)

. En étudiant chaque cas, on démontre des propriétés pour tous les entiers.

Exemple à traiter : Démontre que pour tout entier

n

n (n + 1) (n + 2)

est divisible par 3, en étudiant les restes de

n

modulo 3.

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Erreurs fréquentes

⚠ Reste trop grand

Le reste doit vérifier

0 \leq r < b

⚠ Confondre les rôles

b

divise

a

» n’est pas «

a

divise

b

».

Exercice d’application

Détermine les entiers $a$ tels que la division euclidienne de $a$ par 9 donne un quotient égal au reste.
Démontre que le carré d’un entier impair est de la forme $8 k + 1$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

a = b q + r

0 \leq r < b

, unique.

b ∣ a ⟺ r = 0

. Étude des restes possibles pour démontrer une propriété.