Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Trigonométrie · Leçon 2

Équations et inéquations trigonométriques

Résoudre cos x = a, sin x = a et au-delà.

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Cours de Mathématiques : « Équations et inéquations trigonométriques », proposé par ndolomathndolomath

Équations trigonométriques

💡 Idée principale : On résout

\cos x = \cos a

\sin x = \sin a

\tan x = \tan a

à l’aide du cercle trigonométrique. Les équations plus complexes se ramènent à ces formes par les formules de transformation ou un changement d’inconnue. Les inéquations se lisent sur le cercle.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre les équations fondamentales.
Résoudre $a \cos x + b \sin x = c$ .
Résoudre des équations se ramenant au second degré.
Résoudre une inéquation trigonométrique sur un intervalle.

Pourquoi cette leçon ?

Les instants où une marée atteint une hauteur donnée, ou où un courant alternatif dépasse un seuil, se trouvent en résolvant des équations et inéquations trigonométriques.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne la mesure principale de

\frac{7 π}{3}

Écris

\sqrt{3} \cos x - \sin x

sous la forme

r \cos (x + φ)

Résous

2 X^{2} - X - 1 = 0

Situation problème : La marée à Kribi

La hauteur de la mer à Kribi (en m) est modélisée par $h (t) = 2 + \cos (\frac{π t}{6})$ , $t$ en heures. Un bateau ne peut entrer au port que si $h (t) \geq 2, 5$ m.
Entre $t = 0$ et $t = 12$ , pendant quels intervalles le bateau peut-il entrer ?

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Activité d’apprentissage

On pose $X = \frac{π t}{6}$ .

Traduis la condition par une inéquation en $\cos X$ .
Sur quel intervalle varie $X$ quand $t \in [0; 12]$ ?
Résous l’inéquation sur le cercle trigonométrique.
Reviens à $t$ et réponds à la situation.

Équations fondamentales

\cos x = \cos a ⟺ x = \pm a + 2 k π

;

\sin x = \sin a ⟺ x = a + 2 k π

x = π - a + 2 k π

;

\tan x = \tan a ⟺ x = a + k π

(

k \in Z

Exemple à traiter : Résous dans

R

\cos 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2}

;

\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

R2 · Équations se ramenant aux formes simples

Pour

a \cos x + b \sin x = c

, on écrit

r \cos (x - φ) = c

. Pour

2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0

, on pose

X = \cos x

avec

- 1 \leq X \leq 1

Exemple à traiter : Résous dans

] - π; π]

\cos x + \sin x = 1

2 \sin^{2} x - 3 \sin x + 1 = 0

Inéquations

On résout l’équation associée sur un intervalle, puis on lit sur le cercle trigonométrique les arcs où l’inégalité est vérifiée.

Exemple à traiter : Résous dans

[0; 2 π [

\sin x > \frac{1}{2}

2 \cos x + \sqrt{3} \leq 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Solutions oubliées

cos x = cos a a deux familles de solutions.

⚠ Intervalle

On ne garde que les solutions de l’intervalle demandé.

Exercice d’application

Résous dans $R$ : $\cos 3 x = \cos x$ .
Résous dans $[0; 2 π [$ : $\sqrt{3} \cos x + \sin x \geq \sqrt{2}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\cos x = \cos a

\pm a + 2 k π

\sin x = \sin a

a

π - a

+ 2 k π

. Inéquations : lecture sur le cercle.