Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Transformations affines du plan · Leçon 3

Composée de deux homothéties de même centre ; d’une homothétie et d’une translation

Rapports multipliés, homothétie et translation.

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Cours de Mathématiques : « Composée de deux homothéties de même centre ; d’une homothétie et d’une translation », proposé par ndolomathndolomath

Composée d’homothéties

💡 Idée principale : La composée de deux homothéties de même centre

Ω

et de rapports

k_{1}

k_{2}

est l’homothétie de centre

Ω

et de rapport

k_{1} k_{2}

. La composée d’une homothétie de rapport

k \neq 1

et d’une translation est une homothétie de même rapport

k

, dont on détermine le centre.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer la composée de deux homothéties de même centre.
Déterminer la réciproque d’une homothétie.
Déterminer la composée d’une homothétie et d’une translation, et son centre.

Pourquoi cette leçon ?

Un agrandissement suivi d’une réduction au photocopieur, un zoom suivi d’un déplacement de l’image sur un écran : on enchaîne homothéties et translations.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis

M^{'}

tel que

\vec{Ω M^{'}} = 3 \vec{Ω M}

Rappelle la propriété

\vec{M^{'} N^{'}} = k \vec{M N}

Résous

\vec{x} = 2 \vec{x} + \vec{u}

en vecteurs.

Situation problème : Le zoom de l’écran

Sur un écran de téléphone, Mireille agrandit une photo d’un facteur 2 autour du point $Ω$ , puis elle réduit d’un facteur $\frac{1}{4}$ autour du même point. Ensuite elle fait glisser l’image d’un vecteur $\vec{u}$ .
Quel est l’effet des deux zooms ? Le zoom suivi du glissement est-il encore un zoom ?

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Activité d’apprentissage

On note $h_{1} = h (Ω, 2)$ , $h_{2} = h (Ω, \frac{1}{4})$ et $t$ la translation de vecteur $\vec{u}$ .

Exprime $\vec{Ω M^{'}}$ en fonction de $\vec{Ω M}$ pour $M^{'} = h_{2} (h_{1} (M))$ .
Quelle est la transformation $h_{2} \circ h_{1}$ ?
Pour $f = t \circ h_{1}$ , cherche un point $I$ tel que $f (I) = I$ , puis exprime $\vec{I M^{'}}$ en fonction de $\vec{I M}$ .
Réponds à la situation problème.

Homothéties de même centre

h (Ω, k_{2}) \circ h (Ω, k_{1}) = h (Ω, k_{1} k_{2})

. Si

k_{1} k_{2} = 1

, c’est l’identité. La réciproque de

h (Ω, k)

est

h (Ω, \frac{1}{k})

. La composition est commutative.

Exemple à traiter : Détermine

h (A, - 2) \circ h (A, \frac{3}{2})

et la réciproque de

h (A, - 3)

R2 · Homothétie et translation

k \neq 1

t_{\vec{u}} \circ h (Ω, k)

h (Ω, k) \circ t_{\vec{u}}

sont des homothéties de rapport

k

. Leur centre

I

est l’unique point invariant, obtenu en résolvant

f (I) = I

Exemple à traiter : Détermine la nature et les éléments de

t_{\vec{A B}} \circ h (A, 2)

Effets sur les figures

Une composée d’homothéties de rapport total

k

multiplie les longueurs par

| k |

et les aires par

k^{2}

; une translation conserve longueurs et aires.

Exemple à traiter : Un carré de côté 3 cm subit

h (Ω, 2)

, puis

h (Ω, - \frac{1}{3})

. Calcule le côté et l’aire du carré final.

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Erreurs fréquentes

⚠ Additionner les rapports

Les rapports se multiplient, ils ne s’additionnent pas.

⚠ Rapport 1

k = 1

, l’homothétie est l’identité : la composée avec une translation est une translation.

Exercice d’application

Détermine la nature et les éléments de $h (Ω, 3) \circ t_{\vec{u}}$ , avec $Ω (0; 0)$ et $\vec{u} (2; - 4)$ , à l’aide des coordonnées.
Montre que la composée de $h (Ω, k)$ et $h (Ω, \frac{1}{k})$ est l’identité.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Même centre : rapports multipliés,

h (Ω, k_{2}) \circ h (Ω, k_{1}) = h (Ω, k_{1} k_{2})

. Homothétie de rapport

k \neq 1

+ translation : homothétie de rapport

k