Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Transformations affines du plan · Leçon 2

Composée de deux rotations de même centre

Les angles s’ajoutent.

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Cours de Mathématiques : « Composée de deux rotations de même centre », proposé par ndolomathndolomath

Composée de rotations

💡 Idée principale : La composée de deux rotations de même centre

O

et d’angles

θ_{1}

θ_{2}

est la rotation de centre

O

et d’angle

θ_{1} + θ_{2}

. Elle est l’identité si

θ_{1} + θ_{2} \equiv 0 [2 π]

. Cette composition est commutative.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer la composée de deux rotations de même centre.
Déterminer la réciproque d’une rotation.
Utiliser la décomposition en réflexions pour justifier les résultats.

Pourquoi cette leçon ?

Les aiguilles d’une horloge, une roue de vélo ou un manège tournent autour d’un même centre : deux rotations successives se combinent en une seule rotation.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis l’image d’un point par la rotation de centre

O

et d’angle

\frac{π}{3}

Convertis 150° en radians.

Rappelle la composée de deux réflexions d’axes sécants.

Situation problème : Le manège de la foire

À la foire de Yaoundé, un manège tourne autour de son axe central $O$ . Le premier tour de manivelle le fait tourner de $\frac{π}{3}$ , le second de $\frac{π}{2}$ dans le même sens.
Une seule rotation peut-elle remplacer ces deux mouvements ? Et si le second mouvement était de $- \frac{π}{3}$ ?

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Activité d’apprentissage

On note $r_{1} = r (O, \frac{π}{3})$ et $r_{2} = r (O, \frac{π}{2})$ .

Place un point $M$ , construis $M_{1} = r_{1} (M)$ puis $M^{'} = r_{2} (M_{1})$ .
Compare $O M$ et $O M^{'}$ , puis l’angle $(\vec{O M}, \vec{O M^{'}})$ .
Écris $r_{1}$ et $r_{2}$ comme composées de deux réflexions ayant un axe commun, et simplifie $r_{2} \circ r_{1}$ .
Réponds à la situation problème.

Composée

r (O, θ_{2}) \circ r (O, θ_{1}) = r (O, θ_{1} + θ_{2})

. Cette composée est égale à

r (O, θ_{1}) \circ r (O, θ_{2})

Exemple à traiter : Détermine

r (O, \frac{2 π}{3}) \circ r (O, \frac{π}{6})

r (O, \frac{3 π}{4}) \circ r (O, \frac{5 π}{4})

R2 · Réciproque

La réciproque de

r (O, θ)

est

r (O, - θ)

. Si

θ_{1} + θ_{2} \equiv 0 [2 π]

, la composée est l’identité ; si

θ_{1} + θ_{2} \equiv π [2 π]

, c’est la symétrie centrale de centre

O

Exemple à traiter : Détermine la réciproque de

r (O, \frac{π}{4})

et la composée

r (O, \frac{π}{4}) \circ r (O, \frac{3 π}{4})

Puissances d’une rotation

r (O, θ) \circ r (O, θ) \circ \dots \circ r (O, θ)

(

n

fois)

= r (O, n θ)

. Elle est l’identité si

n θ \equiv 0 [2 π]

Exemple à traiter : Combien de fois faut-il appliquer

r (O, \frac{2 π}{5})

pour revenir au point de départ ? Applique au pentagone régulier.

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Erreurs fréquentes

⚠ Centres différents

La formule ne vaut que pour deux rotations de même centre.

⚠ Angles

On ajoute les angles et on les réduit modulo

2 π

Exercice d’application

$A B C D E F$ est un hexagone régulier de centre $O$ . Détermine la rotation qui transforme $A$ en $C$ , puis composée avec celle qui transforme $C$ en $F$ .
Montre que $r (O, \frac{π}{2}) \circ r (O, \frac{π}{2})$ est la symétrie centrale de centre $O$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

r (O, θ_{2}) \circ r (O, θ_{1}) = r (O, θ_{1} + θ_{2})

; réciproque

r (O, - θ)

; angle total

\equiv 0

: identité.