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MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Transformations affines du plan · Leçon 1

Composée de deux symétries orthogonales

Deux réflexions donnent une translation ou une rotation.

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Cours de Mathématiques : « Composée de deux symétries orthogonales », proposé par ndolomathndolomath

Composée de deux réflexions

💡 Idée principale : La composée de deux symétries orthogonales (réflexions) d’axes parallèles est une translation ; celle de deux réflexions d’axes sécants est une rotation dont l’angle est le double de l’angle des axes. Réciproquement, toute translation et toute rotation se décomposent en deux réflexions.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer la composée de deux réflexions d’axes parallèles.
Déterminer la composée de deux réflexions d’axes sécants.
Décomposer une translation ou une rotation en deux réflexions.

Pourquoi cette leçon ?

Dans un kaléidoscope, deux miroirs inclinés produisent des images tournées les unes par rapport aux autres ; deux miroirs parallèles produisent des images décalées. Les mathématiques expliquent ce phénomène.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis l’image d’un triangle par une réflexion d’axe

(d)

Rappelle la définition d’une translation et d’une rotation.

Que peut-on dire de

s_{d} \circ s_{d}

Situation problème : Les deux miroirs

Dans un salon de coiffure, deux miroirs se font face (murs parallèles distants de 3 m). Un client voit son image dans le premier miroir, puis l’image de cette image dans le second.
Comment passe-t-on directement du client à cette deuxième image ? Que se passe-t-il si les miroirs forment un angle de 60° ?

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Activité d’apprentissage

On note $s_{1}$ et $s_{2}$ les réflexions d’axes $(d_{1})$ et $(d_{2})$ .

Pour $(d_{1}) ∥ (d_{2})$ distantes de 3, place $M$ , $M_{1} = s_{1} (M)$ et $M^{'} = s_{2} (M_{1})$ . Mesure $M M^{'}$ et compare la direction de $(M M^{'})$ aux axes.
Recommence avec un autre point $N$ . Que constates-tu ?
Pour $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sécantes en $O$ avec un angle de 60°, compare $O M$ et $O M^{'}$ et mesure l’angle $\hat{M O M^{'}}$ .
Réponds à la situation problème.

Axes parallèles

(d_{1}) ∥ (d_{2})

s_{2} \circ s_{1}

est la translation de vecteur

2 \vec{H_{1} H_{2}}

, où

H_{1} \in (d_{1})

H_{2} \in (d_{2})

(H_{1} H_{2})

est perpendiculaire aux axes.

Exemple à traiter :

(d_{1})

(d_{2})

sont parallèles et distantes de 2 cm. Détermine

s_{2} \circ s_{1}

s_{1} \circ s_{2}

R2 · Axes sécants

(d_{1})

(d_{2})

se coupent en

O

et si

θ

est une mesure de l’angle orienté de

(d_{1})

vers

(d_{2})

s_{2} \circ s_{1}

est la rotation de centre

O

et d’angle

2 θ

. Si les axes sont perpendiculaires, c’est la symétrie centrale de centre

O

Exemple à traiter :

A B C

est un triangle équilatéral. Détermine

s_{(A C)} \circ s_{(A B)}

Décomposition

Toute translation de vecteur

\vec{u}

est la composée de deux réflexions d’axes perpendiculaires à

\vec{u}

; toute rotation de centre

O

et d’angle

θ

est la composée de deux réflexions d’axes passant par

O

faisant un angle

\frac{θ}{2}

. L’un des deux axes peut être choisi librement.

Exemple à traiter : Décompose la translation de vecteur

\vec{A B}

en deux réflexions dont l’une a pour axe la médiatrice de

[A B]

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Erreurs fréquentes

⚠ Ordre

s_{1} \circ s_{2}

n’est pas

s_{2} \circ s_{1}

: vecteurs ou angles opposés.

⚠ Vecteur

Le vecteur de la translation est le double de

\vec{H_{1} H_{2}}

Exercice d’application

$A B C D$ est un carré de centre $O$ . Détermine $s_{(A C)} \circ s_{(B D)}$ et $s_{(B C)} \circ s_{(A D)}$ .
Décompose la rotation de centre $O$ et d’angle $\frac{π}{2}$ en deux réflexions dont l’une a pour axe $(O x)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Axes parallèles : translation de vecteur

2 \vec{H_{1} H_{2}}

. Axes sécants en

O

: rotation de centre

O

, angle double de l’angle des axes.