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MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Suites numériques · Leçon 2

Suites arithmétiques et suites géométriques

Terme général, sommes et modélisation.

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Cours de Mathématiques : « Suites arithmétiques et suites géométriques », proposé par ndolomathndolomath

Suites arithmétiques et géométriques

💡 Idée principale : Une suite arithmétique de raison

r

vérifie

u_{n + 1} = u_{n} + r

u_{n} = u_{0} + n r

. Une suite géométrique de raison

q

vérifie

u_{n + 1} = q u_{n}

u_{n} = u_{0} q^{n}

. On sait calculer la somme de termes consécutifs de chacune, et on les utilise pour modéliser des évolutions linéaires ou exponentielles.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et déterminer sa raison.
Exprimer le terme général en fonction de $n$ .
Calculer la somme de termes consécutifs.
Modéliser une situation par une suite arithmétique ou géométrique ; étudier des suites auxiliaires.

Pourquoi cette leçon ?

Un salaire qui augmente de 10 000 F chaque année croît de façon arithmétique ; un capital placé à 5 % par an croît de façon géométrique. Choisir le bon modèle permet de comparer des offres et de prévoir l’avenir.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

1 + 2 + \dots + 20

Calcule

1, 05^{3}

à la calculatrice.

Calcule

u_{1}, u_{2}, u_{3}

u_{0} = 3

u_{n + 1} = 2 u_{n}

Situation problème : Les deux offres d’emploi

Paul reçoit deux offres d’emploi pour 10 ans. Offre A : 1 200 000 F la première année, puis une augmentation de 60 000 F chaque année. Offre B : 1 200 000 F la première année, puis une augmentation de 4 % chaque année.
Quelle offre donne le meilleur salaire la 10e année ? Laquelle rapporte le plus au total sur 10 ans ?

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Activité d’apprentissage

On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les salaires de l’année $n$ ( $n$ de 1 à 10).

Calcule $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ et $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ .
Exprime $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
Calcule $a_{10}$ , $b_{10}$ et les totaux sur 10 ans.
Réponds à la situation problème.

Suites arithmétiques

u_{n + 1} = u_{n} + r

;

u_{n} = u_{p} + (n - p) r

. Somme de termes consécutifs :

S = (nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2}

(u_{n})

est croissante si

r > 0

, décroissante si

r < 0

Exemple à traiter :

(u_{n})

est arithmétique avec

u_{3} = 7

u_{8} = 22

. Détermine

r

u_{0}

, puis

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{20}

R2 · Suites géométriques

u_{n + 1} = q u_{n}

;

u_{n} = u_{p} q^{n - p}

. Pour

q \neq 1

u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

, soit (premier terme) ×

\frac{1 - q^{nombre de termes}}{1 - q}

Exemple à traiter :

(v_{n})

est géométrique avec

v_{0} = 3

q = 2

. Calcule

v_{8}

v_{0} + v_{1} + \dots + v_{8}

Suites arithmético-géométriques

Pour

u_{n + 1} = a u_{n} + b

(

a \neq 1

), on cherche le réel

ℓ

tel que

ℓ = a ℓ + b

; la suite

v_{n} = u_{n} - ℓ

est alors géométrique de raison

a

, ce qui donne

u_{n}

en fonction de

n

Exemple à traiter : Soit

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3

. Montre que

v_{n} = u_{n} - 6

est géométrique et exprime

u_{n}

en fonction de

n

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Erreurs fréquentes

⚠ Nombre de termes

u_{0}

u_{n}

, il y a

n + 1

termes.

⚠ Augmentation en pourcentage

Augmenter de 4 %, c’est multiplier par 1,04.

Exercice d’application

Un village compte 8 000 habitants et sa population augmente de 3 % par an. En quelle année dépassera-t-elle 12 000 habitants ?
Calcule $S = 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{10}$ et $T = 5 + 9 + 13 + \dots + 85$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Arithmétique :

u_{n} = u_{0} + n r

S = N \frac{premier + dernier}{2}

. Géométrique :

u_{n} = u_{0} q^{n}

S = premier \times \frac{1 - q^{N}}{1 - q}