Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Suites numériques · Leçon 1

Généralités sur les suites numériques

Modes de définition, récurrence, monotonie, suites bornées.

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Cours de Mathématiques : « Généralités sur les suites numériques », proposé par ndolomathndolomath

Généralités sur les suites

💡 Idée principale : Une suite numérique associe à chaque entier naturel

n

un réel

u_{n}

. Elle peut être définie explicitement (

u_{n} = f (n)

) ou par récurrence (

u_{n + 1} = f (u_{n})

). On étudie son sens de variation, on cherche si elle est majorée, minorée, bornée, et on démontre des propriétés par récurrence.

Ce que tu vas apprendre

Calculer des termes d’une suite définie explicitement ou par récurrence.
Représenter graphiquement une suite.
Étudier la monotonie d’une suite ; justifier qu’une suite est majorée, minorée, bornée.
Utiliser le raisonnement par récurrence.

Pourquoi cette leçon ?

L’épargne mois après mois, la population d’une ville année après année, le nombre de bactéries heure après heure : ces évolutions par étapes sont décrites par des suites.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

f (0)

f (1)

f (2)

pour

f (x) = 2 x^{2} - 1

Étudie le signe de

\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n}

pour

n \geq 1

Écris

\frac{2 n + 3}{n + 1}

sous la forme

2 + \frac{a}{n + 1}

Situation problème : La tontine d’Aïcha

Aïcha place 50 000 F dans une tontine. Chaque mois, son capital augmente de 2 % et elle y ajoute 5 000 F. On note $u_{n}$ son capital après $n$ mois.
Combien aura-t-elle après 3 mois ? Son capital augmente-t-il toujours ? Peut-elle prouver qu’il restera toujours supérieur à 50 000 F ?

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Activité d’apprentissage

On a $u_{0} = 50 000$ .

Exprime $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ .
Calcule $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ .
Étudie le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ en supposant $u_{n} > 0$ . Comment le prouver pour tout $n$ ?
Réponds à la situation problème.

Modes de définition

Explicite :

u_{n} = f (n)

, on calcule directement chaque terme. Par récurrence : on donne

u_{0}

et une relation

u_{n + 1} = f (u_{n})

; pour la représenter, on trace la courbe de

f

et la droite

y = x

Exemple à traiter : Calcule les 4 premiers termes de

u_{n} = \frac{n - 1}{n + 2}

et de

v_{0} = 2

v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n} + 3

. Représente

(v_{n})

R2 · Raisonnement par récurrence

Pour montrer qu’une propriété

P (n)

est vraie pour tout

n \geq n_{0}

: on vérifie

P (n_{0})

(initialisation), puis on montre que si

P (n)

est vraie, alors

P (n + 1)

est vraie (hérédité).

Exemple à traiter : Démontre par récurrence que pour tout

n \geq 1

1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

, puis que

v_{n} < 6

pour la suite

(v_{n})

de R1.

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Monotonie et suites bornées

(u_{n})

est croissante si

u_{n + 1} - u_{n} \geq 0

pour tout

n

; décroissante si

u_{n + 1} - u_{n} \leq 0

. Si

u_{n} = f (n)

, elle a le sens de variation de

f

sur

[0; + \infty [

. Pour une suite à termes positifs, on peut comparer

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

à 1.

(u_{n})

est bornée s’il existe

m

M

tels que

m \leq u_{n} \leq M

pour tout

n

Exemple à traiter : Étudie la monotonie de

u_{n} = \frac{2 n + 3}{n + 1}

et montre qu’elle est bornée.

Erreurs fréquentes

⚠ Initialisation oubliée

L’hérédité seule ne suffit pas : il faut vérifier le premier rang.

⚠ Confusion d’indice

u_{n + 1}

n’est pas

u_{n} + 1

Exercice d’application

Démontre par récurrence que pour tout $n$ : $3^{n} \geq 1 + 2 n$ .
Étudie le sens de variation de $u_{n} = \frac{2^{n}}{n!}$ pour $n \geq 1$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Explicite

u_{n} = f (n)

ou récurrente

u_{n + 1} = f (u_{n})

. Récurrence : initialisation + hérédité. Monotonie : signe de

u_{n + 1} - u_{n}