Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Séries statistiques regroupées en classes · Leçon 1

Caractéristiques de position et de dispersion

Moyenne, médiane, mode, variance et écart-type d’une série en classes.

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Cours de Mathématiques : « Caractéristiques de position et de dispersion », proposé par ndolomathndolomath

Position et dispersion

💡 Idée principale : Pour une série statistique regroupée en classes, on remplace chaque classe par son centre. On calcule les caractéristiques de position (mode, médiane, moyenne) et de dispersion (étendue, variance, écart-type, écart interquartile) pour résumer et comparer des séries.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer la classe modale, calculer la moyenne d’une série en classes.
Déterminer la médiane et les quartiles par interpolation linéaire.
Calculer la variance et l’écart-type.
Comparer deux séries à l’aide de ces caractéristiques.

Pourquoi cette leçon ?

Pour comparer les résultats de deux classes à un examen, ou les salaires de deux entreprises, la moyenne ne suffit pas : il faut aussi mesurer comment les valeurs sont dispersées.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la moyenne de 8, 12, 10, 15, 5.

Calcule le centre de la classe

[20; 30 [

Calcule les fréquences cumulées croissantes de l’effectif 4, 6, 10 (total 20).

Situation problème : Les notes de deux classes

Voici les notes d’un devoir dans deux classes de 1ère de 40 élèves :
Classe A : $[0; 5 [$ : 4 ; $[5; 10 [$ : 12 ; $[10; 15 [$ : 18 ; $[15; 20 [$ : 6.
Classe B : $[0; 5 [$ : 8 ; $[5; 10 [$ : 8 ; $[10; 15 [$ : 12 ; $[15; 20 [$ : 12.
Quelle classe a le mieux réussi ? Laquelle est la plus homogène ?

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Activité d’apprentissage

On étudie la série de la classe A.

Détermine la classe modale et calcule la moyenne en utilisant les centres des classes.
Calcule les effectifs cumulés croissants et détermine la médiane par interpolation.
Calcule la variance et l’écart-type.
Fais de même pour la classe B et réponds à la situation problème.

Caractéristiques de position

La classe modale est la classe de plus grand effectif (à amplitudes égales). Moyenne :

\bar{x} = \frac{1}{N} \sum n_{i} c_{i}

, où

c_{i}

est le centre de la classe. La médiane

M e

partage l’effectif en deux : on la calcule par interpolation linéaire dans la classe où l’effectif cumulé atteint

\frac{N}{2}

Exemple à traiter : Calcule la médiane d’une série dont les effectifs cumulés sont 6 ; 20 ; 34 ; 40 pour les classes

[0; 10 [

[10; 20 [

[20; 30 [

[30; 40 [

R2 · Variance et écart-type

V = \frac{1}{N} \sum n_{i} (c_{i} - \bar{x})^{2} = \frac{1}{N} \sum n_{i} c_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}

σ = \sqrt{V}

. Plus

σ

est petit, plus la série est concentrée autour de la moyenne.

Exemple à traiter : Calcule la variance et l’écart-type de la série :

[0; 4 [

: 3 ;

[4; 8 [

: 7 ;

[8; 12 [

: 10.

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Quartiles et écart interquartile

Les quartiles

Q_{1}

Q_{3}

correspondent aux effectifs cumulés

\frac{N}{4}

\frac{3 N}{4}

; on les calcule par interpolation. L’écart interquartile

Q_{3} - Q_{1}

mesure la dispersion des 50 % centraux.

Exemple à traiter : Détermine

Q_{1}

Q_{3}

et l’écart interquartile de la série de la classe A.

Erreurs fréquentes

⚠ Bornes au lieu des centres

Dans le calcul de la moyenne, on utilise le centre de chaque classe.

⚠ Variance

On soustrait le carré de la moyenne, pas la moyenne.

Exercice d’application

Les salaires mensuels (en milliers de F) de 50 employés sont : $[50; 100 [$ : 10 ; $[100; 150 [$ : 25 ; $[150; 200 [$ : 10 ; $[200; 300 [$ : 5. Calcule la moyenne, la médiane et l’écart-type.
Une série a pour moyenne 12 et pour écart-type 3. On ajoute 2 à chaque valeur. Que deviennent la moyenne et l’écart-type ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Centres des classes.

\bar{x} = \frac{1}{N} \sum n_{i} c_{i}

V = \frac{1}{N} \sum n_{i} c_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}

σ = \sqrt{V}

. Médiane et quartiles par interpolation.