Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Représentation graphique d’une fonction numérique · Leçon 3

Fonctions irrationnelles et trigonométriques

Branches infinies et tracé de courbes plus variées.

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Cours de Mathématiques : « Fonctions irrationnelles et trigonométriques », proposé par ndolomathndolomath

Irrationnelles et trigonométriques

💡 Idée principale : Pour les fonctions irrationnelles (avec des racines carrées) et trigonométriques, le plan d’étude reste le même, mais on étudie la dérivabilité aux bornes, les branches infinies (asymptotes, branches paraboliques) et, pour les fonctions trigonométriques, la périodicité qui réduit l’intervalle d’étude.

Ce que tu vas apprendre

Étudier la dérivabilité d’une fonction irrationnelle aux bornes et interpréter (tangente verticale).
Déterminer les branches infinies d’une courbe.
Utiliser la périodicité et la parité pour réduire l’intervalle d’étude d’une fonction trigonométrique.
Étudier et représenter des fonctions irrationnelles et trigonométriques simples.

Pourquoi cette leçon ?

Les marées, le courant alternatif, le mouvement d’un ressort sont périodiques ; la hauteur d’un réservoir, la distance de freinage s’expriment avec des racines. Il faut savoir tracer ces courbes.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

\sqrt{u}

\sin (a x + b)

\cos (a x + b)

Donne la période de

x \mapsto \sin 2 x

Calcule

lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)

Situation problème : La marée au port de Kribi

Au port de Kribi, la hauteur d’eau (en mètres) $t$ heures après minuit est modélisée par $h (t) = 2 + \cos (\frac{π t}{6})$ .
Toutes les combien d’heures la marée se répète-t-elle ? À quelles heures la mer est-elle haute ? Quand la hauteur dépasse-t-elle 2,5 m ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $h$ sur $[0; 24]$ .

Montre que $h (t + 12) = h (t)$ . Interprète.
Calcule $h^{'} (t)$ et étudie les variations de $h$ sur $[0; 12]$ .
Résous $h (t) \geq 2, 5$ sur $[0; 12]$ .
Réponds à la situation problème.

Dérivabilité aux bornes

Pour

f (x) = \sqrt{u (x)}

avec

u (a) = 0

, on étudie

lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

. Si elle est infinie,

f

n’est pas dérivable en

a

et la courbe admet une demi-tangente verticale en ce point.

Exemple à traiter : Étudie la dérivabilité en 1 de

f (x) = \sqrt{x - 1}

et interprète graphiquement.

R2 · Branches infinies

lim_{x \to + \infty} f (x) = \pm \infty

, on étudie

lim \frac{f (x)}{x}

: si elle vaut

\pm \infty

, branche parabolique de direction

(O y)

; si elle vaut 0, branche parabolique de direction

(O x)

; si elle vaut

a \neq 0

, on étudie

lim [f (x) - a x]

: si elle vaut

b

, asymptote

y = a x + b

; si elle est infinie, branche parabolique de direction

y = a x

Exemple à traiter : Détermine les branches infinies des courbes de

f (x) = \sqrt{x}

g (x) = x^{2}

k (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x}

+ \infty

Fonctions trigonométriques

f

est

T

-périodique, on l’étudie sur un intervalle de longueur

T

, puis on complète par translations de vecteurs

k T \vec{i}

. Si de plus

f

est paire ou impaire, on l’étudie sur

[0; \frac{T}{2}]

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = \sin 2 x + 1

sur

[- π; π]

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Erreurs fréquentes

⚠ Racine non dérivable

\sqrt{u}

n’est pas forcément dérivable là où

u

s’annule.

⚠ Période

La période de

\cos (a x)

est \(\dfrac{2\pi}{

Exercice d’application

Étudie et représente $f (x) = x - 2 \sqrt{x}$ sur $[0; + \infty [$ .
Étudie et représente $g (x) = \cos^{2} x$ après avoir réduit l’intervalle d’étude.
Réponds à la situation problème.

À retenir

lim \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = \infty

: tangente verticale. Branches infinies : étudier

\frac{f (x)}{x}

, puis

f (x) - a x

. Périodicité et parité réduisent l’étude.