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MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Orthogonalité dans l’espace · Leçon 2

Plans orthogonaux

Orthogonalité de deux plans de l’espace.

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Plans orthogonaux

💡 Idée principale : Deux plans sont perpendiculaires si l’un contient une droite orthogonale à l’autre. Leurs vecteurs normaux sont alors orthogonaux. Cette notion permet de démontrer que des faces d’un solide sont perpendiculaires et de construire des plans perpendiculaires.

Ce que tu vas apprendre

Définir deux plans perpendiculaires.
Démontrer que deux plans sont perpendiculaires.
Utiliser les propriétés des plans perpendiculaires (intersection, droite perpendiculaire à l’intersection).

Pourquoi cette leçon ?

Un mur doit être perpendiculaire au sol, une porte qui s’ouvre reste perpendiculaire au sol quelle que soit son ouverture. Ces situations reposent sur l’orthogonalité de plans.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle la définition de deux droites orthogonales de l’espace.

Quand une droite est-elle orthogonale à un plan ?

Dans un cube, cite deux faces qui se coupent.

Situation problème : La porte de la salle

Le menuisier pose une porte dont l’axe des gonds est vertical. Lorsqu’on ouvre la porte, on obtient différentes positions du plan de la porte.
Le plan de la porte reste-t-il perpendiculaire au sol dans toutes les positions ? Pourquoi ?

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Activité d’apprentissage

On note $(Δ)$ l’axe des gonds, $(P)$ le plan du sol et $(Q)$ le plan de la porte.

Quelle est la position de $(Δ)$ par rapport à $(P)$ ?
Quelle est la position de $(Δ)$ par rapport à $(Q)$ ?
Propose une définition de deux plans perpendiculaires.
Réponds à la situation problème.

Définition

Deux plans

(P)

(Q)

sont perpendiculaires si l’un d’eux contient une droite orthogonale à l’autre. Dans un repère orthonormé, ils sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Exemple à traiter : Dans le cube

A B C D E F G H

, montre que les plans

(A B F)

(A B C)

sont perpendiculaires, ainsi que les plans

(A C G)

(B D H)

R2 · Propriété

(P)

(Q)

sont perpendiculaires et se coupent suivant

(Δ)

, toute droite de

(P)

perpendiculaire à

(Δ)

est orthogonale à

(Q)

Exemple à traiter :

S A B C D

est une pyramide de base carrée dont la face

S A B

est perpendiculaire à la base, avec

S A = S B

. Montre que la hauteur issue de

S

dans

S A B

est orthogonale à

(A B C)

Plans perpendiculaires à un même plan

Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même plan

(R)

, leur droite d’intersection est orthogonale à

(R)

. Deux plans perpendiculaires à un même plan ne sont pas forcément parallèles.

Exemple à traiter : Justifie que l’intersection de deux murs voisins est une droite verticale.

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Erreurs fréquentes

⚠ Confusion droite / plan

Une droite d’un plan n’est pas forcément orthogonale à un plan perpendiculaire.

⚠ Parallélisme

Deux plans perpendiculaires à un même troisième peuvent se couper.

Exercice d’application

Dans un repère orthonormé, montre que les plans $x + 2 y - z = 3$ et $2 x - y + 5 = 0$ sont perpendiculaires.
$A B C D$ est un tétraèdre tel que $(A B)$ est orthogonale au plan $(B C D)$ . Montre que les plans $(A B C)$ et $(B C D)$ sont perpendiculaires.
Réponds à la situation problème.

À retenir

(P) ⊥ (Q)

: l’un contient une droite orthogonale à l’autre ⇔ vecteurs normaux orthogonaux. Deux plans ⊥ à

(R)

: intersection ⊥

(R)