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MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Orthogonalité dans l’espace · Leçon 1

Droites orthogonales

Orthogonalité de deux droites de l’espace.

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Cours de Mathématiques : « Droites orthogonales », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Dans l’espace, deux droites sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Elles peuvent être orthogonales sans être sécantes. On le démontre avec des vecteurs directeurs orthogonaux ou en utilisant une droite orthogonale à un plan.

Ce que tu vas apprendre

Définir l’orthogonalité de deux droites de l’espace.
Distinguer droites orthogonales et droites perpendiculaires.
Démontrer que deux droites sont orthogonales à l’aide de vecteurs ou de propriétés.

Pourquoi cette leçon ?

Dans une charpente ou une salle de classe, une arête verticale et une arête horizontale du plafond peuvent ne pas se toucher et pourtant « former un angle droit ». Il faut une notion d’orthogonalité propre à l’espace.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle quand deux droites du plan sont perpendiculaires.

Dans un cube

A B C D E F G H

, cite deux arêtes parallèles et deux arêtes sécantes.

Rappelle le produit scalaire de deux vecteurs en fonction de leurs coordonnées.

Situation problème : La salle de classe

La salle de classe est un pavé droit. Un élève affirme que l’arête verticale d’un coin de la salle et une arête horizontale du plafond située à l’opposé « forment un angle droit », alors qu’elles ne se coupent pas.
A-t-il raison ? Comment le justifier ?

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Activité d’apprentissage

On modélise la salle par le cube $A B C D E F G H$ (face $A B C D$ au sol, arêtes $[A E]$ , $[B F]$ , $[C G]$ , $[D H]$ verticales).

Les droites $(A E)$ et $(F G)$ sont-elles sécantes ? coplanaires ?
Trace la parallèle à $(F G)$ passant par $A$ . Quel angle forme-t-elle avec $(A E)$ ?
Propose une définition de deux droites orthogonales de l’espace.
Réponds à la situation problème.

Définition

Deux droites

(D)

(D^{'})

de l’espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes.

Exemple à traiter : Dans le cube

A B C D E F G H

, cite trois droites orthogonales à

(A B)

non sécantes avec elle.

R2 · Caractérisation vectorielle

(D)

(D^{'})

, de vecteurs directeurs

\vec{u}

\vec{v}

, sont orthogonales si et seulement si

\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Exemple à traiter : Dans un repère orthonormé,

(D)

a pour vecteur directeur

\vec{u} (1; 2; - 1)

(D^{'})

\vec{v} (3; - 1; 1)

. Ces droites sont-elles orthogonales ?

Propriétés

Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre. Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas forcément parallèles dans l’espace.

Exemple à traiter :

A B C D

est un tétraèdre régulier et

I

le milieu de

[B C]

. Montre que

(B C)

est orthogonale à

(A I)

et à

(D I)

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Erreurs fréquentes

⚠ Orthogonales ⇒ sécantes

Deux droites orthogonales de l’espace ne se coupent pas forcément.

⚠ Transposer le plan

Dans l’espace, deux droites orthogonales à une même droite ne sont pas toujours parallèles.

Exercice d’application

Dans le cube $A B C D E F G H$ , montre que $(A C)$ et $(B D)$ sont perpendiculaires, puis que $(A C)$ et $(F H)$ sont orthogonales.
Dans un repère orthonormé, détermine $m$ pour que les vecteurs $(m; 1; 2)$ et $(2; m; - 3)$ dirigent des droites orthogonales.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Orthogonales : parallèles menées par un même point perpendiculaires. Vecteurs directeurs :

\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

. Orthogonales ne veut pas dire sécantes.