Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Généralités sur les fonctions numériques · Leçon 2

Symétries et translations dans la construction des courbes

Parité, axes et centres de symétrie, courbes déduites.

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Cours de Mathématiques : « Symétries et translations dans la construction des courbes », proposé par ndolomathndolomath

Symétries et translations

💡 Idée principale : La courbe d’une fonction peut posséder un axe ou un centre de symétrie, ce qui permet d’en étudier seulement une partie. Les courbes de

x \mapsto f (x - a) + b

- f (x)

f (- x)

| f (x) |

se déduisent de celle de

f

par des transformations simples.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser la parité pour réduire l’ensemble d’étude.
Démontrer qu’une droite $x = a$ est axe de symétrie ou qu’un point $Ω (a; b)$ est centre de symétrie.
Construire les courbes de $f (x - a) + b$ , $- f (x)$ , $f (- x)$ , $| f (x) |$ , $f (| x |)$ à partir de celle de $f$ .

Pourquoi cette leçon ?

Pour tracer une courbe, on gagne du temps en repérant ses symétries ; et une fois la courbe de

x \mapsto x^{2}

connue, toutes les paraboles s’obtiennent par translation.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle la définition d’une fonction paire, d’une fonction impaire.

Écris

x^{2} - 4 x + 7

sous forme canonique.

Donne les coordonnées de l’image de

M (x; y)

par la symétrie de centre

Ω (a; b)

Situation problème : Le logo du club

Le club de mathématiques veut un logo formé de la courbe de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ . Le graphiste ne veut tracer qu’une moitié de la courbe et compléter par symétrie.
La courbe a-t-elle un centre de symétrie ? Peut-on l’obtenir à partir de la courbe de $x \mapsto \frac{1}{x}$ ?

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Activité d’apprentissage

On cherche à écrire $f (x) = b + \frac{c}{x - a}$ .

Détermine les réels $b$ et $c$ tels que $f (x) = b + \frac{c}{x - 1}$ .
Calcule $f (1 + h) + f (1 - h)$ pour $h \neq 0$ . Que remarques-tu ?
Par quelles transformations passe-t-on de la courbe de $x \mapsto \frac{1}{x}$ à celle de $f$ ?
Réponds à la situation problème.

Axe de symétrie

La droite d’équation

x = a

est axe de symétrie de

C_{f}

si et seulement si, pour tout

h

tel que

a + h \in D_{f}

a - h \in D_{f}

f (a - h) = f (a + h)

. Si

f

est paire, l’axe des ordonnées est axe de symétrie.

Exemple à traiter : Montre que la droite

x = 2

est axe de symétrie de la courbe de

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

R2 · Centre de symétrie

Le point

Ω (a; b)

est centre de symétrie de

C_{f}

si et seulement si, pour tout

h

tel que

a + h \in D_{f}

a - h \in D_{f}

f (a + h) + f (a - h) = 2 b

. Si

f

est impaire, l’origine est centre de symétrie.

Exemple à traiter : Montre que

Ω (- 1; 2)

est centre de symétrie de la courbe de

g (x) = \frac{2 x + 3}{x + 1}

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Courbes associées

La courbe de

x \mapsto f (x - a) + b

est l’image de

C_{f}

par la translation de vecteur

a \vec{i} + b \vec{j}

; celle de

- f

est la symétrique de

C_{f}

par rapport à

(O x)

; celle de

x \mapsto f (- x)

par rapport à

(O y)

; celle de

| f |

s’obtient en gardant les parties au-dessus de

(O x)

et en symétrisant les autres.

Exemple à traiter : À partir de la courbe de

x \mapsto \sqrt{x}

, construis celles de

x \mapsto \sqrt{x + 2} - 1

x \mapsto - \sqrt{x}

Erreurs fréquentes

⚠ Ensemble de définition symétrique

On vérifie d’abord que

D_{f}

est symétrique par rapport à

a

⚠ Sens de la translation

f (x - a)

décale la courbe vers la droite si

a > 0

Exercice d’application

Étudie la parité de $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ et de $g (x) = | x | - x^{2}$ .
Construis la courbe de $x \mapsto | x^{2} - 4 |$ à partir de celle de $x \mapsto x^{2}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Axe

x = a

f (a - h) = f (a + h)

. Centre

Ω (a; b)

f (a + h) + f (a - h) = 2 b

f (x - a) + b

: translation de vecteur

a \vec{i} + b \vec{j}