Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Généralités sur les fonctions numériques · Leçon 1

Notion de fonctions et d’applications

Ensemble de définition, images, antécédents, injections, surjections, bijections.

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Cours de Mathématiques : « Notion de fonctions et d’applications », proposé par ndolomathndolomath

Fonctions et applications

💡 Idée principale : Une fonction de

E

vers

F

associe à chaque élément

x

E

au plus une image dans

F

; une application en associe exactement une. Une application peut être injective, surjective ou bijective. On compose les fonctions et on compare leurs variations.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction numérique.
Distinguer fonction et application ; reconnaître une injection, une surjection, une bijection.
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition.
Étudier le sens de variation d’une composée ; reconnaître une fonction majorée, minorée, bornée.

Pourquoi cette leçon ?

Un code associe à chaque élève un matricule unique ; une machine transforme un nombre en un autre, puis une seconde machine retransforme le résultat. Savoir quand une correspondance est réversible ou quand on peut enchaîner deux machines est au cœur de l’étude des fonctions.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

x^{2} - 4 \geq 0

Pour quelles valeurs de

x

l’expression

\frac{1}{x - 3}

a-t-elle un sens ?

Donne le sens de variation de

x \mapsto x^{2}

sur

] - \infty; 0]

et sur

[0; + \infty [

Situation problème : Les deux machines

Dans un atelier, une machine $M_{1}$ transforme un nombre $x$ en $x - 2$ , puis une machine $M_{2}$ transforme le résultat $t$ en $\sqrt{t}$ .
Pour quels nombres $x$ la chaîne $M_{1}$ puis $M_{2}$ fonctionne-t-elle ? Peut-on, à partir du résultat final, retrouver le nombre de départ ?

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Activité d’apprentissage

On note $f (x) = x - 2$ et $g (t) = \sqrt{t}$ .

Calcule $g (f (6))$ et $g (f (11))$ . Peut-on calculer $g (f (1))$ ?
Exprime $g (f (x))$ en fonction de $x$ et donne son ensemble de définition.
Deux nombres de départ différents peuvent-ils donner le même résultat ? Tout nombre positif est-il un résultat possible ?
Réponds à la situation problème.

Fonction, application, ensemble de définition

L’ensemble de définition

D_{f}

d’une fonction numérique

f

est l’ensemble des réels qui ont une image par

f

. La restriction de

f

D_{f}

est une application. On exclut les valeurs annulant un dénominateur et celles rendant négatif ce qui est sous une racine carrée.

Exemple à traiter : Détermine l’ensemble de définition de

f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - 4}

et de

g (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 2}}

R2 · Injection, surjection, bijection

Une application

f : E \to F

est injective si deux éléments distincts ont des images distinctes ; surjective si tout élément de

F

a au moins un antécédent ; bijective si elle est injective et surjective : tout élément de

F

a alors exactement un antécédent, et on définit la bijection réciproque

f^{- 1}

Exemple à traiter : L’application

x \mapsto x^{2}

R

vers

R

est-elle injective ? surjective ? Même question de

[0; + \infty [

vers

[0; + \infty [

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Composée et variations

g \circ f

est définie par

(g \circ f) (x) = g (f (x))

pour

x \in D_{f}

tel que

f (x) \in D_{g}

. Si

f

g

ont le même sens de variation,

g \circ f

est croissante ; si leurs sens sont contraires,

g \circ f

est décroissante.

f

est bornée sur

I

s’il existe

m

M

tels que

m \leq f (x) \leq M

pour tout

x \in I

Exemple à traiter : Soit

f (x) = 2 x + 1

g (x) = \frac{1}{x}

. Détermine

g \circ f

f \circ g

et le sens de variation de

g \circ f

sur

] - \frac{1}{2}; + \infty [

Erreurs fréquentes

⚠ Commutativité

En général,

g \circ f \neq f \circ g

⚠ Ensemble de définition de la composée

Il ne suffit pas que

x

soit dans

D_{f}

: il faut aussi

f (x) \in D_{g}

Exercice d’application

Montre que $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ réalise une bijection de $R ∖ {1}$ vers un ensemble à préciser, et détermine sa réciproque.
Montre que la fonction $x \mapsto \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ est bornée sur $R$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

D_{f}

: dénominateurs non nuls, radicandes positifs. Bijective = injective + surjective.

(g \circ f) (x) = g (f (x))

; même sens de variation ⇒ composée croissante.