Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Équations, inéquations Systèmes · Leçon 4

Utilisation des inconnues auxiliaires

Changer de variable pour simplifier.

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Cours de Mathématiques : « Utilisation des inconnues auxiliaires », proposé par ndolomathndolomath

Inconnues auxiliaires

💡 Idée principale : Certaines équations ou systèmes deviennent simples si l’on pose une nouvelle inconnue :

X = x^{2}

pour une équation bicarrée,

X = \sqrt{x}

X = \frac{1}{x}

, ou encore

S = x + y

P = x y

pour un système symétrique.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre une équation bicarrée.
Résoudre une équation à l’aide d’un changement d’inconnue.
Résoudre un système symétrique avec la somme et le produit.

Pourquoi cette leçon ?

Une équation qui paraît de degré 4 peut n’être qu’une équation du second degré déguisée. Savoir repérer le bon changement d’inconnue fait gagner beaucoup de temps.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

X^{2} - 5 X + 4 = 0

Trouve deux nombres de somme 7 et de produit 12.

Résous

x^{2} = 4

x^{2} = - 1

dans

R

Situation problème : Le terrain et la clôture

Un terrain rectangulaire a une aire de 300 m² et une diagonale de 25 m.
En notant $x$ et $y$ ses dimensions, on a $x y = 300$ et $x^{2} + y^{2} = 625$ . Quelles sont ses dimensions ?

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Activité d’apprentissage

On pose $S = x + y$ et $P = x y$ .

Exprime $x^{2} + y^{2}$ en fonction de $S$ et $P$ .
Calcule S.
Résous l’équation dont x et y sont les solutions.
Réponds à la situation problème.

Équation bicarrée

Pour

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

, on pose

X = x^{2}

(avec

X \geq 0

), on résout

a X^{2} + b X + c = 0

, puis on revient à

x

Exemple à traiter : Résous

x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0

x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0

R2 · Autres changements

On pose

X = \sqrt{x}

X = \frac{1}{x}

X = x + \frac{1}{x}

… selon la forme de l’équation, en tenant compte des conditions sur

X

Exemple à traiter : Résous

x - 5 \sqrt{x} + 6 = 0

Systèmes symétriques

x + y = S

x y = P

, alors

x

y

sont les solutions de

X^{2} - S X + P = 0

. On utilise

x^{2} + y^{2} = S^{2} - 2 P

Exemple à traiter : Résous

{\begin{cases} x + y = 10 \\ x^{2} + y^{2} = 58 \end{cases}

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier la condition X ≥ 0

Si X = x², une valeur négative de X ne donne pas de solution.

⚠ Retour à l’inconnue

On n’oublie pas de revenir à x à la fin.

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Exercice d’application

Résous ${(x + \frac{1}{x})}^{2} - 5 (x + \frac{1}{x}) + 6 = 0$ .
Résous ${\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ x y = 6 \end{cases}$
Réponds à la situation problème.

À retenir

Bicarrée :

X = x^{2} \geq 0

. Système symétrique :

S = x + y

P = x y

X^{2} - S X + P = 0

. Toujours revenir à l’inconnue de départ.