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MATHÉMATIQUES · 1re D
Chapitre : Équations, inéquations Systèmes · Leçon 2

Équations et inéquations irrationnelles

Des racines carrées qui imposent des conditions.
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Cours de Mathématiques : « Équations et inéquations irrationnelles », proposé par ndolomathndolomath
Équations irrationnelles
💡 Idée principale : Une équation irrationnelle contient l’inconnue sous une racine carrée. On l’élève au carré, mais cela peut ajouter de fausses solutions : il faut écrire les conditions (radicande positif, membre égal à la racine positif) et vérifier.
Ce que tu vas apprendre
  1. Écrire les conditions d’existence d’une équation irrationnelle.
  2. Résoudre A(x)=B(x).
  3. Résoudre A(x)≤B(x) et A(x)≥B(x).
Pourquoi cette leçon ?
La longueur d’une diagonale, la distance entre deux points ou la vitesse d’un objet en chute s’expriment avec des racines. Résoudre des équations avec racines permet de retrouver une dimension inconnue.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Résous x2−5x+6=0.
2
Pour quelles valeurs 2x−4 existe-t-il ?
3
Calcule (x+3)2.
Situation problème : Le câble de l’antenne

Une antenne verticale de hauteur x m est fixée au sol par un câble attaché à 6 m de son pied. Le câble mesure 2 m de plus que l’antenne.
En écrivant x2+36=x+2, trouve la hauteur de l’antenne.

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Activité d’apprentissage

On résout x2+36=x+2.

  1. Quelles conditions doit vérifier x pour que l’équation ait un sens ?
  2. Élève les deux membres au carré et résous.
  3. Vérifie la solution dans l’équation de départ.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Équation (sqrt{A} = B)
A(x)=B(x)⟺{B(x)≥0A(x)=B(x)2La condition A(x)≥0 est alors automatiquement vérifiée.
Exemple à traiter : Résous 2x+3=x et x+5=x−1.
R2 · Inéquation (sqrt{A} leq B)
A(x)≤B(x)⟺{A(x)≥0B(x)≥0A(x)≤B(x)2
Exemple à traiter : Résous x+2≤x.
R3
Inéquation (sqrt{A} geq B)
On distingue deux cas : si B(x)<0, il suffit que A(x)≥0 ; si B(x)≥0, on résout A(x)≥B(x)2.
Exemple à traiter : Résous 3−x>x−1.
Erreurs fréquentes
⚠ Solutions parasites
Élever au carré peut ajouter des solutions : on vérifie toujours.
⚠ Oublier un cas
Pour √A ≥ B, il faut traiter le cas B < 0.
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Exercice d’application
  1. Résous x2−3x=x−1.
  2. Résous x+1+x−4=5.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
A=B⟺B≥0 et A=B2. Pour les inéquations, conditions d’existence et étude de cas selon le signe de B.
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Préparation du PDF…